AMC 10 · 2009 · #8
학년 8 algebra systems-of-equationslinear-equations-two-varfraction-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 그릇과 내용물의 무게가 서로 다른 두 채움 상태에서 주어져 있다. 가득 찼을 때의 무게를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac23a + \frac13b$
(B)
$\frac32a - \frac12b$
(C)
$\frac32a + b$
(D)
$\frac32a + 2b$
(E)
3a - 2b
풀이 과정
전략 변수 도입하기
절대 변하지 않는 두 양이 있다. 빈 양동이의 무게와 가득 찬 물 한 통의 무게다. 각각을 변수로 이름 붙이고, 두 개의 '얼마나 찼는지' 사실을 두 개의 식으로 바꾸면, 두 식을 결합하는 것만으로 가득 찬 양동이의 무게가 나온다.
1STEP 1
변하지 않는 두 무게에 이름 붙이기
숨은 두 무게는 변하지 않는다.
B = 빈 양동이, w = 가득 찬 물
변하지 않는 부분에 이름을 붙이면 모든 경우에서 그것을 따라갈 수 있다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2STEP 2
각 채움 상태를 식으로 쓰기
각 채움 상태가 방정식 하나가 된다.
B + 2/3 w = a, B + 1/2 w = b
가득 찬 물의 일부에 같은 양동이를 더하면 각 측정 무게가 된다.
7.EE.B.4Convert To Algebra3STEP 3
빼서 물만 남기기
빼면 내용물이 분리된다.
(2/3 - 1/2)w = a - b → 1/6 w = a - b → w = 6a - 6b
두 식을 나란히 놓으면 공통인 양동이 무게가 스스로 지워진다.
두 식을 나란히 놓으면 공통된 양동이 무게가 스스로 지워진다.
▸ 왜?
두 무게가 같은 양동이를 지니므로, 빼면 그것이 통째로 사라진다.
둘을 같이 옮기면 차는 그대로두 점을 수직선에서 같은 거리만큼 밀면 둘 사이의 간격은 결코 변하지 않는다.
▸ 왜?
참인 등식에서 다른 참인 등식을 빼도 결과는 참으로 남으므로, 그렇게 지워도 된다.
양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
4STEP 4
양동이 무게 되찾기
다시 대입하면 그릇의 무게가 나온다.
B = b - 1/2(6a - 6b) = 4b - 3a
물을 알고 나면 식 하나로 양동이가 드러난다.
8.EE.C.7Convert To Algebra5STEP 5
양동이와 가득 찬 물 더하기
둘을 더하면 3a - 2b, 보기 (D).
B + w = (4b - 3a) + (6a - 6b) = 3a - 2b
가득 찬 무게는 그저 양동이에 물 한 통 전체를 더한 것이다.
7.EE.A.1Introduce A Variable정답
3a - 2b
실제 숫자로 확인해 보자. 빈 양동이를 2, 가득 찬 물을 6이라 하면 2/3 찼을 때는 2 + 4 = 6 = a, 1/2 찼을 때는 2 + 3 = 5 = b이다. 가득 찬 양동이는 2 + 6 = 8이다. 공식은 3a - 2b = 18 - 10 = 8을 주어 일치하므로 (E)가 맞다.
💡핵심 정리
변하지 않는 부분에 이름을 붙이고, 단서마다 식을 하나씩 쓴 다음, 빼서 원하지 않는 부분을 사라지게 하라.
- 변하지 않는 두 무게에 이름 붙이기
- 각 채움 상태를 식으로 쓰기
- 빼서 물만 남기기
- 양동이 무게 되찾기
- 양동이와 가득 찬 물 더하기