AMC 10 · 2009 · #9

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates
coordinate-geometryarea-trianglesslope-interceptpythagorean-theorem identify-subproblemsinvariant-monovariant ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
삼각형의 두 꼭짓점이 고정되어 있고 셋째는 주어진 직선 위 어디든 될 수 있다. 삼각형의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
6
(B)
8
(C)
10
(D)
12
(E)
14
풀이 과정
전략 그림 그리기

고정된 것과 자유로운 것을 함께 그려 보자. 고정된 두 꼭짓점은 직선 x+y=3 위에 있고, C는 직선 x+y=7 위로 제한된다. 두 직선의 기울기가 같다. 이 평행한 한 쌍이 문제의 전부다. C를 고르기도 전에 밑변 AB 위의 높이가 이미 정해져 버리기 때문이다. 그래서 작업 순서는 (1) 높이가 변할 수 없음을 먼저 증명하고, (2) 밑변과 그 하나뿐인 높이를 재는 것이다. 편한 C를 먼저 고르면 수는 나오지만, 그 수가 강제된다는 것은 보이지 못한다.

1STEP 1

밑변 AB를 직선으로 나타내기

고정된 두 점이 다른 직선과 평행한 직선 위에 있다.

직선 AB: x+y=3 그리고 C 는 x+y=7 위
2STEP 2

평행한 두 직선이 높이를 고정한다

평행한 직선이 높이를 고정한다.

CC'F'F 는 평행사변형 ⟹ CF = C'F'
3STEP 3

밑변 재기

밑변은 3√(2)이다.

AB=√(3²+3²)=√(18)=3√(2)
4STEP 4

두 직선 사이의 간격 재기

두 직선 사이의 간격은 2√(2)이다.

NM=√((7/2-3/2)²+(7/2-3/2)²)=√(4+4)=2√(2)
5STEP 5

밑변 곱하기 높이의 절반

밑변 곱하기 높이의 절반이 6이다, 보기 (C).

넓이(△ ABC)=1/2 · 3√(2) · 2√(2)=1/2 · 12=6
정답
6
겉모습이 전혀 다른 두 위치의 C로 확인해 보자. C=(7,0)이면 변 AC가 x축 위에 놓이고 길이는 7-3=4, 높이는 B의 y좌표인 3이므로 넓이는 1/2 · 4 · 3=6이다. C=(0,7)이면 변 BC가 y축 위에 놓이고 길이는 7-3=4, 높이는 A의 x좌표인 3이므로 역시 6이다. 완전히 달라 보이는 두 삼각형의 넓이가 같은데, 이는 평행선 논증이 예측한 그대로다. 그리고 6은 보기 (A)에 있다.
💡핵심 정리

자유로운 점이 밑변과 평행한 직선 위에서만 움직일 수 있다면 높이는 이미 정해진 것이고, 그래서 점을 고르기도 전에 넓이는 확정되어 있다.

  • 밑변 AB를 직선으로 나타내기
  • 평행한 두 직선이 높이를 고정한다
  • 밑변 재기
  • 두 직선 사이의 간격 재기
  • 밑변 곱하기 높이의 절반

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