AMC 10 · 2010 · #2
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총합은 하나씩 따로 답할 수 있는 두 질문으로 깔끔하게 갈라진다 — 운항은 몇 번이었는가, 그리고 각 운항에 몇 명이 탔는가. 그래서 작업의 뼈대를 잡는 것은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이다. 이 분할이 중요한 이유는 두 쪽의 난이도가 전혀 다르기 때문이다. 덧셈은 뻔하다. 운항 횟수가 난이도 전부이고, 횟수를 틀리면 그 뒤의 인원이 조용히 전부 망가진다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 출발 시각을 직접 써 보고, 양 끝을 포함한 구간을 세는 규칙과 대조해 그 횟수를 확정한다. 도구 #5(패턴 찾기)는 한 단계씩 적용되는 '한 명 적게' 규칙을, 임의의 운항의 인원을 곧바로 주는 식으로 바꾼다. 마지막 배를 95로 못 박는 것이 바로 이 식이다. 도구 #14(극단의 원리)는 정확한 덧셈을 하기 전에, 여섯 번 운항하는 날의 최소와 최대 사이로 총합을 가둔다. 도구 #3(가능성 지우기)은 덧셈을 되풀이하지 않는 검사로 마무리한다. 여섯 번 운항한 날의 총합이라면 반드시 통과해야 하는 배수 검사이다.
시간이 아니라 배를 세기
출발을 세면 배가 여섯 대다.
한 시간짜리 칸 다섯 개를 막으려면 기둥은 여섯 개가 필요하고, 관광객을 싣는 것은 칸이 아니라 기둥이다.
한 시간짜리 간격 다섯 개는 여섯 번의 출발이 울타리처럼 둘러싼 것이며, 관광객을 태우는 것은 그 출발이다.
▸ 왜?
각 출발은 하나의 항목이고 각 간격은 항목 사이의 자리이므로, 항목은 언제나 간격보다 하나 많다.
▸ 왜?
출발이 같은 간격으로 이어지므로, 개수는 전체 길이와 간격만으로 정해진다.
각 배의 인원 구하기
각 인원이 첫 배에서 하나씩 줄어든다.
인원은 운항마다가 아니라 운항 사이의 칸마다 줄어들므로, 첫 배와 마지막 배 사이에는 다섯 번의 감소가 있다.
4.OA.C.5Look For A Pattern더하기 전에 범위로 가두기
총합을 먼저 범위로 가두는 것이 유용한 확인이다.
백 명 남짓한 배 여섯 척이면 총합은 육백에 조금 못 미쳐야 한다.
4.OA.A.3Extreme Principle100에 기대어 더하기
첫 인원에 기대면 585가 나온다.
모든 배가 백 명을 꽉 채워 떠났다고 치고, 실제로 비어 있던 열다섯 자리를 되돌려 주면 된다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems총합의 생김새 검사하기
총합의 생김새가 585를 확인해 준다, 보기 (C).
연속한 여섯 수의 합은 언제나 홀수이면서 3의 배수이고, 그 둘을 다 만족하는 선택지는 하나뿐이다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities시간 사이의 칸이 아니라 배를 세라 — 오전 10시부터 오후 3시까지는 여섯 번의 출발이다 — 그다음 여섯 척 모두 백 명을 채우고 떠났다고 치고 비어 있던 열다섯 자리를 되돌려 주면 된다.
- 시간이 아니라 배를 세기
- 각 배의 인원 구하기
- 더하기 전에 범위로 가두기
- 100에 기대어 더하기
- 총합의 생김새 검사하기