AMC 10 · 2010 · #25

원도 무수히 많고 놓는 자리도 무수히 많으므로, 도형을 유한한 무언가로 바꾸기 전에는 셀 수가 없다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 그 역할을 한다. 네 변의 길이를 반시계 방향으로 읽으면 사각형은 구슬 네 개짜리 목걸이 (a,b,c,d)가 되고, 네 번의 순환 이동을 같은 것으로 본다. 이 맞바꿈이 정당하려면 목걸이가 도형의 완전한 대역이어야 하고, 그러려면 서로 다른 두 도형이 같은 목걸이를 갖지 않는다는 것과 정당한 목걸이는 모두 실제 도형으로 실현된다는 것, 두 가지를 각각 증명해야 한다. 둘 다 결정적이고 둘 다 건너뛰기 쉽다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 첫째를 준다. 대각선으로 자르면 코사인법칙이 한 각을, 따라서 도형 전체를 확정한다. 도구 #14(극단의 원리)가 둘째의 경계를 준다. 도형은 어떤 코사인 값이 [-1,1] 안에 엄격히 머무는 동안에만 존재하고, 그 조건은 '모든 변이 15 이하'로 번역된다. 도구 #1(그림 그리기)은 삼각형 두 개를 다시 붙여 그 도형이 정말로 있음을 보인다. 세기는 그다음이며, 도구 #16은 여백을 세는 방식으로 전체 4-순서쌍에서 큰 변이 있는 것을 뺀다. 마지막 단계가 보기 세 개를 갈라놓는다. 목걸이 세기는 '4로 나누기'가 아니다. 순환 이동으로 자기 자신이 되는 목걸이가 몇 개 있기 때문이다. 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 순서쌍을 회전대칭 정도에 따라 분류한다. 도구 #3과 #15는 함정 보기를 지우고 다른 방식으로 다시 세어 마무리한다.