AMC 10 · 2010 · #9
학년 7 geometry-3d volume-rectangular-prismprinciple-of-inclusion-exclusionspatial-visualization complementary-counting ↑ 선수 지식: volume-rectangular-prism
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
정육면체의 각 면 중앙을 정사각형 굴이 곧게 관통한다. 남은 부피를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
7
(B)
8
(C)
10
(D)
12
(E)
15
풀이 과정
전략 관점 바꾸기
남은 입체는 복잡한 틀 모양이지만, 파낸 재료는 단순한 상자들로 이루어져 있다. 그러니 남은 것을 재는 대신 파낸 것을 재서 전체 정육면체에서 빼면 된다. 다만 세 굴이 서로 겹치므로, 파낸 상자들을 세는 일은 가운데 공유 부분을 조심해야 하는 별도의 작은 문제가 된다.
1STEP 1
정육면체 전체의 부피
정육면체 전체는 27 세제곱인치다.
3 × 3 × 3 = 27
남는 것은 모두 이 27세제곱인치에서 나오므로, 여기서 빼 나가면 된다.
5.MD.C.5Change Focus Count The Complement2STEP 2
곧은 굴 하나의 부피
곧은 굴 하나가 12를 가져간다.
2 × 2 × 3 = 12
곧게 뚫린 구멍은 긴 상자일 뿐이고, 상자의 부피는 가로 × 세로 × 높이다.
5.MD.C.5Visualize Spatial Relationships3STEP 3
세 굴이 가운데를 공유한다
세 굴 모두 가운데 덩어리를 공유한다.
2 × 2 × 2 = 8
두 굴이 만나는 곳에서는 똑같은 가운데 덩어리를 파내므로, 그 덩어리는 한 번보다 많이 셀 수 없다.
7.G.B.6Identify Subproblems4STEP 4
파낸 재료를 정확히 더하기
겹침을 바로잡으면 모두 20이 사라진다.
3 × 12 - 3 × 8 + 8 = 36 - 24 + 8 = 20
굴을 더하면 공유하는 가운데가 초과로 세어지므로, 겹친 부분을 빼고 한 번만 빠지도록 가운데를 정확히 한 번 되돌린다.
굴을 그냥 더하면 공유된 가운데가 겹쳐 세어지므로, 겹침을 덜어 내고 가운데를 한 번만 되넣는다.
▸ 왜?
겹치는 영역을 세면 공유된 부분이 겹쳐 세어지므로, 공유된 부분을 번갈아 더하고 뺀다.
부분을 더한 뒤 겹친 것을 덜어낸다두 무리를 더하면 둘 다에 속한 것이 두 번 세어지므로, 겹친 부분을 한 번 빼면 올바른 합계가 된다.
▸ 왜?
각 굴은 곧은 상자이므로, 부피는 단면이 길이만큼 반복된 것이다.
각기둥은 밑면을 쌓아 올린 것각기둥은 하나의 평평한 면이 끝까지 반복된 것이므로, 부피는 밑넓이에 높이를 곱한 것이다.
5STEP 5
빼서 남는 부피 구하기
빼면 7이 남는다, 보기 (A).
27 - 20 = 7
남는 것은 처음 정육면체에서 파낸 부피를 덜어 낸 것뿐이다.
5.MD.C.5Change Focus Count The Complement정답
7
남은 틀을 직접 만들어 보고 값이 맞는지 확인한다. 남는 것은 8개의 모서리(꼭짓점) 정육면체로 각각 0.5 × 0.5 × 0.5(부피 0.125, 합 1)이고, 여기에 12개의 모서리 막대로 각각 2 × 0.5 × 0.5(부피 0.5, 합 6)이다. 더하면 1 + 6 = 7로, 27 빼기 20과 같다. 또한 7은 보기 중 가장 작은 값인데, 이는 거의 다 파여 얇은 틀만 남은 정육면체와 잘 맞는다.
💡핵심 정리
구멍이 서로 겹칠 때는 파낸 것을 그냥 다 더하지 말고, 공유하는 부분을 한 번만 세어야 너무 많이 지우지 않는다.
- 정육면체 전체의 부피
- 곧은 굴 하나의 부피
- 세 굴이 가운데를 공유한다
- 파낸 재료를 정확히 더하기
- 빼서 남는 부피 구하기
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