AMC 10 · 2010 · #17

학년 7 geometry-3d

유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Fraction or Difference of a Bounding Solid

volume-rectangular-prismprinciple-of-inclusion-exclusionspatial-visualization complementary-counting ↑ 선수 지식: volume-rectangular-prism

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 변의 길이가 3인치인 속이 꽉 찬 정육면체가 있다. 각 면의 중앙에 2인치 × 2인치 크기의 정사각형 구멍을 뚫는다. 각 구멍의 모서리는 정육면체의 모서리와 평행하고, 각 구멍은 정육면체를 완전히 관통한다. 남은 입체의 부피는 몇 세제곱인치인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변이 3인치인 정육면체의 각 면 중앙에 2×2 정사각형 구멍을 뚫는다. 자른 모서리는 정육면체의 모서리와 평행하고, 각 구멍은 정육면체를 완전히 관통한다. 남은 입체의 부피를 구하여라.

주어진 것: 처음 입체는 한 변의 길이가 3인치인 정육면체이다.; 각 면의 중앙에 2인치 × 2인치 정사각형 구멍을 뚫는다.; 모든 구멍은 정육면체 모서리와 평행하게 곧게 관통한다.; 마주 보는 두 면은 같은 굴을 공유하므로 굴은 모두 3개다(마주 보는 면 한 쌍당 1개).

구하는 것: 남은 입체의 부피(세제곱인치).

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #1 그림 그리기

남은 입체는 복잡한 틀 모양이지만, 파낸 재료는 단순한 상자들로 이루어져 있다. 그러니 남은 것을 재는 대신 파낸 것을 재서 전체 정육면체에서 빼면 된다. 다만 세 굴이 서로 겹치므로, 파낸 상자들을 세는 일은 가운데 공유 부분을 조심해야 하는 별도의 작은 문제가 된다.

실행 — 정답: A

#16 관점 바꾸기 5.MD.C.5 단계 1

정육면체 전체의 부피

구멍을 뚫기 전 정육면체 전체에서 시작한다.
한 변이 3인 정육면체의 부피는 3 곱하기 3 곱하기 3이다.

$$3 \times 3 \times 3 = 27$$

💡 남는 것은 모두 이 27세제곱인치에서 나오므로, 여기서 빼 나가면 된다.

#17 공간 상상하기 5.MD.C.5 단계 2

곧은 굴 하나의 부피

각 구멍은 2×2 정사각형이고 정육면체의 길이 3을 완전히 관통한다.
그 굴은 2 × 2 × 3 크기의 직육면체 상자다.

$$2 \times 2 \times 3 = 12$$

💡 곧게 뚫린 구멍은 긴 상자일 뿐이고, 상자의 부피는 가로 × 세로 × 높이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 3

세 굴이 가운데를 공유한다

마주 보는 면 한 쌍마다 굴이 하나씩 있어 굴은 모두 3개다.
각각 2×2 상자로 정육면체를 관통한다.
그런데 셋 다 가운데를 지나며, 공유하는 부분은 가운데의 2×2×2 정육면체로 부피가 8이다.
굴 3개를 그냥 12씩 더하면 이 가운데가 여러 번 세어진다.

$$2 \times 2 \times 2 = 8$$

💡 두 굴이 만나는 곳에서는 똑같은 가운데 덩어리를 파내므로, 그 덩어리는 한 번보다 많이 셀 수 없다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.1 단계 4

파낸 재료를 정확히 더하기

포함-배제 원리를 쓴다.
굴 셋을 더하면 3 곱하기 12.
세 쌍의 굴이 각각 가운데 정육면체 8에서 겹치므로 8을 세 번 뺀다.
그러면 정가운데를 한 번 더 빼 버리므로, 가운데 정육면체 8을 한 번 더한다.
실제로 파낸 재료의 총량은 20이다.

$$3 \times 12 - 3 \times 8 + 8 = 36 - 24 + 8 = 20$$

💡 굴을 더하면 공유하는 가운데가 초과로 세어지므로, 겹친 부분을 빼고 한 번만 빠지도록 가운데를 정확히 한 번 되돌린다.

#16 관점 바꾸기 5.MD.C.5 단계 5

빼서 남는 부피 구하기

남은 입체는 전체 정육면체에서 파낸 모든 것을 뺀 것이다.
27 빼기 20은 7세제곱인치다.
따라서 답은 (A)이다.

$$27 - 20 = 7$$

💡 남는 것은 처음 정육면체에서 파낸 부피를 덜어 낸 것뿐이다.

[1] #16 5.MD.C.5 구멍을 뚫기 전 정육면체 전체에서 시작한다. 한 변이 3인 정육면체의 부피는 3 곱하기 3 곱하기 3이다.

[2] #17 5.MD.C.5 각 구멍은 2×2 정사각형이고 정육면체의 길이 3을 완전히 관통한다. 그 굴은 2 × 2 × 3 크기의 직육면체 상자다.

[3] #7 7.G.B.6 마주 보는 면 한 쌍마다 굴이 하나씩 있어 굴은 모두 3개다. 각각 2×2 상자로 정육면체를 관통한다. 그런데 셋 다 가운데를 지나며, 공유하는

[4] #7 5.OA.A.1 포함-배제 원리를 쓴다. 굴 셋을 더하면 3 곱하기 12. 세 쌍의 굴이 각각 가운데 정육면체 8에서 겹치므로 8을 세 번 뺀다. 그러면 정가운

[5] #16 5.MD.C.5 남은 입체는 전체 정육면체에서 파낸 모든 것을 뺀 것이다. 27 빼기 20은 7세제곱인치다. 따라서 답은 (A)이다.

검토

합리성 확인: 남은 틀을 직접 만들어 보고 값이 맞는지 확인한다. 남는 것은 8개의 모서리(꼭짓점) 정육면체로 각각 0.5 × 0.5 × 0.5(부피 0.125, 합 1)이고, 여기에 12개의 모서리 막대로 각각 2 × 0.5 × 0.5(부피 0.5, 합 6)이다. 더하면 1 + 6 = 7로, 27 빼기 20과 같다. 또한 7은 보기 중 가장 작은 값인데, 이는 거의 다 파여 얇은 틀만 남은 정육면체와 잘 맞는다.

대안 접근: 파낸 상자를 빼는 대신, 남는 조각을 더할 수도 있다. 틀은 8개의 작은 꼭짓점 정육면체와 12개의 모서리 막대로 이루어진다: 8 곱하기 0.125 더하기 12 곱하기 0.5 = 1 더하기 6 = 7. 꼭짓점 조각과 모서리 조각은 서로 겹치지 않으므로 겹침 계산이 아예 필요 없다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.MD.C.5 부피를 곱셈과 덧셈 연산과 연결하기 (정육면체 전체(3×3×3)와 각 직육면체 굴(2×2×3)의 부피를 계산하는 데 사용.)
5.OA.A.1 괄호를 사용한 수식을 세우고 계산하기 (포함-배제 항 3×12 − 3×8 + 8을 올바른 순서로 계산하는 데 사용.)
7.G.B.6 넓이, 겉넓이, 부피와 관련된 실생활 문제 해결하기 (세 굴이 겹치는 합성 입체의 부피를 단순 합산이 아니라 공유하는 가운데를 보정하며 구하는 데 사용.)

⭐ 구멍이 서로 겹칠 때는 파낸 것을 그냥 다 더하지 말고, 공유하는 부분을 한 번만 세어야 너무 많이 지우지 않는다.