AMC 10 · 2010 · #10
학년 8 algebra mean-median-mode-rangesequences-arithmeticlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
연속된 수들에 하나를 더한 목록의 평균이 그 하나의 큰 배수와 같다. 더해진 수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\dfrac{49}{101}$
(B)
$\dfrac{50}{101}$
(C)
$\dfrac{1}{2}$
(D)
$\dfrac{51}{101}$
(E)
$\dfrac{50}{99}$
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기
'평균'이라는 말 속에는 식이 숨어 있다. 문장을 대수로 바꾸면 (100개의 수의 합) / 100 = 100x 이다. 먼저 고정된 부분(1부터 99까지의 합)을 작은 문제로 처리한 뒤, 식을 x에 대해 푼다. 9999와 4950에 있는 패턴 덕분에 마지막 분수는 쉽게 약분된다.
1STEP 1
1부터 99까지 더하기
짝지어 더하면 4950이다.
1 + 2 + … + 99 = (99 · 100)/2 = 4950
양 끝을 짝지으면 긴 덧셈이 간단한 곱셈으로 바뀐다.
수열의 양 끝을 짝지으면 긴 덧셈이 빠른 곱셈 한 번이 된다.
▸ 왜?
고르게 늘어선 목록에서 안쪽으로 옮기면 한쪽이 오른 만큼 다른 쪽이 내려가므로, 모든 짝의 합이 같다.
양 끝에서 짝지으면 합이 일정하다고르게 늘어선 목록에서 가장 작은 것과 가장 큰 것, 그다음끼리 짝지으면 언제나 같은 합이 되므로 긴 덧셈이 곱셈이 된다.
▸ 왜?
그 공통된 합은 가운데 값의 두 배이므로, 전체 합은 개수 곱하기 평균이다.
평균은 합을 개수로 나눈 것산술평균은 합을 값의 개수로 균등하게 나눈 것: 평균 = 합 ÷ 개수 (따라서 합 = 평균 × 개수).
2STEP 2
평균을 식으로 쓰기
평균이 하나의 단순한 방정식이 된다.
(4950 + x)/100 = 100x
'평균이 100x'라는 말은 그저 받아 적기만 하면 되는 식이다.
6.EE.B.6Introduce A Variable3STEP 3
x에 대해 풀기
미지수를 모으면 하나의 분수가 된다.
4950 + x = 10000x → 4950 = 9999x → x = 4950/9999
분수를 없애고 x항을 한쪽으로 모으면 나눗셈 하나만 남는다.
8.EE.C.7Convert To Algebra4STEP 4
분수 약분하기
약분하면 50/101, 보기 (B).
x = 4950/9999 = (99 · 50)/(99 · 101) = 50/101
(제곱의 차를 통해) 공통 인수 99를 발견하면 분수가 단번에 정리된다.
6.NS.B.4Look For A Pattern정답
50/101
x = 50/101은 1/2 보다 조금 작으므로 100x는 50보다 조금 작다. 100개의 수는 1부터 99까지에 아주 작은 x를 더한 것이므로 평균도 50보다 조금 작아야 한다. 양쪽 모두 50보다 살짝 아래에 놓이므로 앞뒤가 맞고, 50/101은 보기 (B)와 일치한다.
💡핵심 정리
'평균'이라는 말은 사실 식이다: 다 더하고, 개수로 나눈 다음, 주어진 값과 같다고 놓으면 된다.
- 1부터 99까지 더하기
- 평균을 식으로 쓰기
- x에 대해 풀기
- 분수 약분하기