AMC 10 · 2010 · #15

학년 11 countingalgebra

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role

complex-numbersperiodic-functionfundamental-counting-principle caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: complex-numbers

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 범위에서 만든 세 값이 서로 다른 값을 정확히 둘만 가져야 한다. 순서쌍의 수를 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

149

(B)

205

(C)

215

(D)

225

(E)

235

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

조건이 '세 값 중 무엇과 무엇이 같은가'에 관한 것이므로, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 서로 겹치지 않는 세 가지 일치 유형으로 정리해 각각을 센다. 세기 전에 도구 #3(가능성 지우기)이 핵심 역할을 한다. 절댓값을 비교하면 i^x와 (1+i)^y가 같아질 수 있는 곳이 단 한 곳뿐임이 드러나고, (1+i)^y가 실수인지 따지면 정수 z와 같아질 수 있는 지수가 정확히 걸러진다. 도구 #5(패턴 찾기)는 그 제거를 가능하게 하는 두 규칙, 즉 i^x가 4단계마다 반복된다는 것과 (1+i)² = 2i가 모든 1+i의 거듭제곱을 만들어낸다는 것을 제공한다. 마지막으로 도구 #16(관점 바꾸기)은 검토 단계에서 쌍별 일치를 따로 세고 세 값이 모두 같은 경우의 중복을 보정하는 독립적인 재계산을 준다.

1STEP 1

조건을 세 경우로 바꾸기

조건이 세 가지 일치 경우로 나뉜다.

{A,B,C}의 원소가 정확히 2개 ⇔ A = B, A = C, B = C 중 정확히 하나만 성립

2STEP 2

세 자리 각각의 값 파악하기

각 자리는 짧고 아는 목록 위를 움직인다.

i^x ∈ {1, i, -1, -i} (각 값이 5번씩), (1+i)² = 2i, z ∈ {0, 1, …, 19}

3STEP 3

크기로 교차 일치 지우기

크기만으로 대부분의 교차 일치가 지워진다.

|i^x| = 1, |(1+i)^y| = (√(2))^ y → i^x = (1+i)^y ⇔ y = 0이고 i^x = 1

4STEP 4

20보다 작은 정수가 되는 거듭제곱

허용 범위에 드는 거듭제곱은 둘뿐이다.

(1+i)⁴ⁿ = 4ⁿ(-1)ⁿ: 1, -4, 16, -64, 256 → (y,z) = (0,1) 또는 (8,16)

5STEP 5

1로 고정되는 두 경우 세기

고정된 두 경우가 각각 95를 준다.

A = B ≠ C: 5 × 1 × 19 = 95; A = C ≠ B: 5 × 1 × 19 = 95

6STEP 6

마지막 경우를 세고 합치기

마지막 경우를 더하면 225, 보기 (C).

B = C ≠ A: 15 + 20 = 35; 합계 = 95 + 95 + 35 = 225

정답

225

20³ = 8000개 중 225개는 3%가 안 되는데, 이는 상황에 잘 맞는다. 크기가 항상 1인 값, 계속 커지는 값, 그리고 작은 정수가 우연히 일치하는 일은 드물기 때문이다. 독립적인 재계산으로도 확인된다. 전체 8000개에 대해 쌍별 일치를 따로 세면, A = B인 것은 5 × 1 × 20 = 100개, A = C인 것은 5 × 20 × 1 = 100개, B = C인 것은 2 × 20 = 40개다(두 쌍 (y,z) = (0,1)과 (8,16)에 x는 자유). 세 값이 모두 같으려면 A = B = 1이고 z = 1이어야 하므로 그런 것은 5개이고, 이 5개는 위 세 개수 모두에 들어가 있다. 정확히 한 쌍만 같은 순서쌍은 한 번만 세어졌으므로, 서로 다른 원소가 정확히 두 개인 순서쌍의 개수는 100 + 100 + 40 - 3 × 5 = 225이고 경우별 합계와 일치한다. 덧붙여 보기 205는 (1+i)⁰ = 1은 찾았지만 (1+i)⁸ = 16을 놓쳤을 때 정확히 나오는 값이다. 즉 16 갈래는 장식이 아니라 반드시 필요한 부분이다.

💡핵심 정리

먼저 크기를 비교하라. |i^x|는 항상 1인데 |(1+i)^y|는 계속 커지므로 세 값이 겹칠 수 있는 자리는 몇 곳뿐이다 — 그 자리들을 찾은 다음 세면 된다.

조건을 세 경우로 바꾸기
세 자리 각각의 값 파악하기
크기로 교차 일치 지우기
20보다 작은 정수가 되는 거듭제곱
1로 고정되는 두 경우 세기
마지막 경우를 세고 합치기