AMC 10 · 2011 · #13

학년 8 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
angle-bisector-theoremisosceles-triangleperimeter physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: isosceles-triangle
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
내심을 지나는 직선이 한 변과 평행하게 나머지 두 변을 자른다. 작은 삼각형의 둘레를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
27
(B)
30
(C)
33
(D)
36
(E)
42
풀이 과정
전략 그림 그리기

어려워 보이는 값은 MN, 즉 아무도 알려 주지 않은 유일한 길이다. 도구 #1(그림 그리기)은 그것에 손이 닿는 이유를 보여 준다: 선분 MN 위에 내심 I가 놓여 있고, I는 B에서 나온 이등분선과 C에서 나온 이등분선 위에 동시에 있다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 MN을 I에서 MI와 IN으로 나누어 따로 다룬다. 각 조각은 이등분선과 평행선이 만나는 삼각형 안에 놓이고, 이 조합은 언제나 두 각을 같게 만들어 두 변을 같게 한다. 그다음 도구 #15(다르게 정리하기)가 마무리한다: 세 길이를 각각 구해 더하는 대신, 둘레를 이루는 네 조각을 다시 묶어 원래 삼각형의 온전한 변으로 되돌린다. 이 논증이 실제로 무엇에 기대는지 보자 — 오직 MN ∥ BC라는 사실과 BI, CI가 각을 이등분한다는 사실뿐이다. 내접원 자체도, BC = 24라는 값도 필요 없다. 마지막에 도구 #14(극단의 원리)로 그 뜻밖의 무관함을 시험한다.

1STEP 1

그림이 실제로 존재하는지 확인

그 삼각형은 실제로 존재한다.

12 + 18 = 30 ＞ 24 → △ ABC 존재
2STEP 2

I에서 엇각 읽기

평행선이 두 각을 같게 만든다.

MN ∥ BC → ∠ MIB = ∠ IBC
3STEP 3

이등분선 + 평행선 = MI = MB

따라서 작은 두 삼각형이 이등변이다.

∠ MBI = ∠ IBC = ∠ MIB → MI = MB, NI = NC
4STEP 4

MN을 내심에서 쪼개기

잘린 선분이 내심에서 나뉜다.

MN = MI + IN = MB + NC
5STEP 5

둘레를 온전한 변으로 다시 묶기

다시 묶으면 온전한 두 변이 되어 30이다.

AM + MN + NA = (AM + MB) + (NA + NC) = AB + AC = 12 + 18 = 30 → (B)
정답
30
두 개의 한계가 답을 조여 준다. 작은 삼각형은 큰 삼각형 안에 있으므로 둘레는 12 + 24 + 18 = 54보다 작다. 또한 중점연결선보다는 크다: MN ∥ BC이므로 △ AMN ∼ △ ABC이고 닮음비를 k라 하면, MN과 BC 사이 띠의 폭이 내접원의 반지름 r과 같으므로 k = (h_a - r)/h_a이다(여기서 h_a는 A에서 BC까지의 높이). 두 넓이 공식 rs = 1/2a h_a를 s = 27, a = 24로 비교하면 r/h_a = a/2s = 24/54 = 4/9, 따라서 k = 5/9 ＞ 1/2이고 둘레는 5/9 · 54 = 30으로 중점연결선 값 27보다 크다. 이 독립적인 경로가 같은 수에 도달하며, MN이 중점연결선이라고 넘겨짚은 사람을 위한 반둘레 함정 (A) 27을 배제한다. 나머지 함정은 변을 잘못 짝지은 것이다: (D) 36 = AB + BC, (E) 42 = BC + AC. 끝으로 도구 #14의 정신으로 시험해 보자: 일반 결과는 둘레 = b + c이고 a가 들어 있지 않다. a를 찌그러지는 극단 a → b + c로 밀면 k → (b+c)/(a+b+c) → 1/2이 되고 둘레는 → 1/2 · 2(b+c) = b+c, 여전히 30이다. 극단에서도 무관함이 살아남는다는 것이 BC = 24가 애초에 필요 없었다는 가장 강한 증거다.
💡핵심 정리

이등분선이 평행선을 만나면 언제나 이등변삼각형이 잘려 나오므로 MI = MB, NI = NC이다. 그러면 △ AMN의 둘레는 그냥 AB + AC = 30이고, BC의 길이는 전혀 끼어들지 않는다.

  • 그림이 실제로 존재하는지 확인
  • I에서 엇각 읽기
  • 이등분선 + 평행선 = MI = MB
  • MN을 내심에서 쪼개기
  • 둘레를 온전한 변으로 다시 묶기

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