AMC 10 · 2011 · #14

학년 9 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

probability-basicfunction-evaluationfundamental-counting-principle convert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

무작위로 뽑은 두 숫자가 점의 좌표이면서 곡선의 계수이기도 하다. 점이 곡선 위쪽에 놓일 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{11}{81}$

(B)

$\frac{13}{81}$

(C)

$\frac{5}{27}$

(D)

$\frac{17}{81}$

(E)

$\frac{19}{81}$

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

여기서는 그림을 그려도 얻을 것이 없습니다. 뽑을 때마다 포물선이 달라지기 때문입니다. 경우가 81가지면 포물선도 81개입니다. 변하지 않는 것은 "위에 있다"를 판정하는 대수식입니다. 점의 높이 b가 x = a에서의 곡선 높이를 이겨야 합니다. 이 조건을 쓰면 문제 전체가 부등식 하나로 줄어드는데, 여기서 뜻밖의 일이 생깁니다. b가 양변에 모두 나타납니다. b가 점의 좌표이면서 동시에 곡선의 계수이기 때문입니다. b를 한쪽으로 모으고 나면 부등식이 각 a마다 허용되는 가장 작은 b를 알려 주고, 남는 일은 세는 것뿐입니다. 위험한 곳은 분수 a³/(a+1) 하나입니다. 이것을 눈대중으로 반올림하는 순간 하나 차이의 실수가 생깁니다. 선택지가 11/81, 13/81, 15/81, 17/81, 19/81로 개수 하나씩 차이이기 때문입니다. 그래서 세기 전에 이 분수를 정확한 정수 기준값으로 바꾸는 것이 계획입니다.

1STEP 1

점을 자기 곡선에 대입하기

점을 자기 곡선에 대입한다.

y(a) = a · a² - b · a = a³ - ab ⟹ b ＞ a³ - ab

2STEP 2

b를 한쪽으로 모으기

모으면 한 문자가 분수보다 커야 한다.

b ＞ a³ - ab ⇔ b(a+1) ＞ a³ ⇔ b ＞ a³/(a+1)

3STEP 3

분수를 정확한 기준값으로 바꾸기

그 분수가 정수 기준으로 날카로워진다.

a³/(a+1) = (a²-a+1) - 1/(a+1), 0 ＜ 1/(a+1) ＜ 1 ⟹ b ＞ a³/(a+1) ⇔ b ≥ a²-a+1

4STEP 4

큰 a 값을 지우기

첫 숫자의 큰 값은 배제된다.

a²-a+1 ≤ 9 ⇔ a(a-1) ≤ 8; a(a-1) = 0, 2, 6, 12, 20, … (엄밀 증가)

5STEP 5

살아남은 a마다 b 세기

살아남는 짝은 19개다.

#{b} = 9 - a(a-1): a = 1 → 9, a = 2 → 7, a = 3 → 3, 합계 9 + 7 + 3 = 19

6STEP 6

전체 격자로 나누기

격자로 나누면 19/81, 보기 (E).

P = 19/(9 · 9) = 19/81

정답

19/81

같은 점들을 다른 축으로 묶어서 다시 세어 봅니다. 묶는 방식이 다르므로 앞의 실수가 그대로 복사되지 않습니다. 이번에는 a 대신 b를 고정합니다. 조건 b ≥ a²-a+1은 a(a-1) ≤ b-1과 같고, a = 1,2,3,4에 대해 a(a-1)은 0, 2, 6, 12입니다. 그러므로 b = 1, 2일 때는 a = 1만, b = 3,4,5,6일 때는 a = 1,2가, b = 7,8,9일 때는 a = 1,2,3이 됩니다. 합은 1+1+2+2+2+2+3+3+3 = 19로 행 방향 개수와 일치합니다. 크기 감각으로도 확인됩니다. 19/81 ≈ 0.23이고, 유리한 영역은 9 × 9 격자의 왼쪽 열들에 걸친 얇은 쐐기입니다. 기준값 a²-a+1이 a = 4가 되는 순간 9를 훌쩍 넘기기 때문입니다. 전체의 약 4분의 1이라는 크기가 자연스럽습니다. 마지막으로 19는 소수이고 81을 나누지 않으므로 19/81은 이미 기약분수이며, 인쇄된 선택지 (E)와 그대로 일치합니다.

💡핵심 정리

점과 곡선이 같은 두 수로 만들어져 있으면 대입했을 때 미지수가 양변에 나타납니다. 먼저 한쪽으로 모으고, 남은 분수는 세기 전에 정확한 정수 기준값으로 바꾸세요.

점을 자기 곡선에 대입하기
b를 한쪽으로 모으기
분수를 정확한 기준값으로 바꾸기
큰 a 값을 지우기
살아남은 a마다 b 세기
전체 격자로 나누기