AMC 10 · 2011 · #15
학년 10 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
도구 #17(공간 상상하기): 알맞은 수직 평면으로 입체를 자르는 순간 문제 전체가 무너진다. 삼각형 면이 그 평면과 수직이 되도록 자르면 면이 직선 하나로만 나타난다. 도구 #4(변수 도입하기): 밑면 한 변의 절반을 m이라 두면 단면 안의 모든 길이가 m의 식이 되고, 접한다는 조건이 방정식 하나가 된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 문제는 세 갈래로 나뉜다 — 반구의 중심은 어디인가, 접한다는 조건은 수치로 무엇을 뜻하는가, 그 접점이 정말 곡면 위에 있는가. 도구 #3(가능성 지우기): 마지막에는 다른 밑변 길이가 불가능함을 보여야 하고, 그러려면 m이 커질 때 거리가 한쪽 방향으로만 움직임을 확인해야 한다.
대칭성으로 반구의 중심을 못박기
대칭성이 중심을 가운데에 놓는다.
네 개의 비스듬한 벽에서 모두 같은 거리에 있는 자리는 바닥 위에 딱 하나, 정중앙뿐이다.
10.G-CO.A.3Visualize Spatial Relationships변의 절반에 이름을 붙이고 수직 단면 하나를 자르기
수직 단면 하나가 문제 전체를 담는다.
자르는 평면과 수직으로 서 있는 벽은 단면에 모서리 선만 남기므로, 공간 속 거리가 종이 위 거리로 바뀐다.
10.G-MG.A.1Introduce A Variable접한다는 것은 길이 2인 수선이라는 뜻
닿는다는 것은 반지름 길이의 수선이라는 뜻이다.
공을 스치듯 지나는 면은 공과 정면으로 만나므로, 접점으로 가는 반지름이 중심에서 그 면까지의 최단 거리이다.
10.G-C.A.2Identify Subproblems닮은 직각삼각형으로 그 거리를 구하기
닮은 직각삼각형이 그 거리를 준다.
빗변으로 내린 수선은 직각삼각형을 자기 자신을 닮은 두 조각으로 나누므로, 짧은 변과 긴 변의 비가 세 삼각형에서 모두 같다.
빗변에 내린 수선은 직각삼각형을 자기 자신의 더 작은 복사본 둘로 자른다.
▸ 왜?
각 조각은 전체와 각 하나를 공유하고 저마다 직각을 지니므로, 셋 모두 같은 모양이다.
▸ 왜?
접함이 그 직각을 거저 주는데, 공을 스치는 면은 반지름과 직각으로 만나기 때문이다.
변의 절반을 구하기
풀면 변의 절반이 나오므로 변은 3√2다.
제곱근을 없애면 접한다는 조건이 미지수 하나짜리 평범한 이차방정식이 된다.
8.EE.A.2Introduce A Variable접점이 바닥 아래가 아니라 곡면 위에 있는지 확인하기
접점이 실제로 지붕 위에 놓인다.
공의 절반은 남겨 둔 쪽에서 닿아야만 진짜로 접한 것이다.
8.G.B.7Visualize Spatial Relationships다른 밑변 길이는 불가능함을 보이기
거리가 꾸준히 커지므로 다른 변은 안 된다.
밑면이 커질수록 거리가 항상 커지기만 한다면, 반지름과 정확히 맞는 밑면은 하나뿐이고 나머지는 빗나가거나 뚫고 나간다.
10.G-GPE.B.4Eliminate Possibilities접한다는 말은 중심에서의 거리가 반지름과 같다는 뜻이므로, 한 면과 수직으로 서는 평면으로 입체를 자르면 삼차원 조건 전체가 직각삼각형의 수선 하나로 바뀐다.
- 대칭성으로 반구의 중심을 못박기
- 변의 절반에 이름을 붙이고 수직 단면 하나를 자르기
- 접한다는 것은 길이 2인 수선이라는 뜻
- 닮은 직각삼각형으로 그 거리를 구하기
- 변의 절반을 구하기
- 접점이 바닥 아래가 아니라 곡면 위에 있는지 확인하기
- 다른 밑변 길이는 불가능함을 보이기
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