AMC 10 · 2011 · #18

학년 8 algebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
absolute-valuecompleting-the-squareoptimization extreme-principlecasework ↑ 선수 지식: absolute-value
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
합과 차의 절댓값을 더한 값이 정해져 있다. 주어진 식의 최댓값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
5
(B)
6
(C)
7
(D)
8
(E)
9
풀이 과정
전략 극단의 원리

어떤 영역 위에서의 최댓값은 그 영역의 가장자리에서 나온다(도구 #14 극단의 원리). 그러니 먼저 그 영역이 정확히 무엇인지부터 알아야 한다. 조건식은 절댓값 두 개의 합이라 그대로는 읽히지 않으므로 다른 형태로 정리한다(도구 #15). |x|와 |y| 중 어느 쪽이 큰지를 따지면 좌변 전체가 하나의 깔끔한 식으로 접힌다. 그러면 조건은 그림이 된다 — 정사각형의 테두리(도구 #1). 그 다음 그 정사각형 위에서 x² - 6x + y²을 항별로 위에서 눌러 막고, 후보 꼭짓점을 원래 방정식에 다시 넣어 확인한다(도구 #6). 이 확인이 중요하다. 절댓값 기호를 네 가지로 벗기면 직선 네 개가 나오는데, 그 직선 위에서는 식의 최댓값이 아예 존재하지 않는다. 네 직선까지만 간 논증은 문제에 답한 것이 아니다.

1STEP 1

절댓값 두 개를 하나로 접기

그 쌍은 더 큰 쪽 크기의 두 배로 접힌다.

|x+y| + |x-y| = 2max(|x|,|y|) (모든 실수 x, y 에 대해)
2STEP 2

가능한 영역을 정확히 읽어내기

따라서 영역은 정사각형 테두리다.

max(|x|,|y|) = 1 ⇔ (|x| ≤ 1이고 |y| ≤ 1)이고 (|x| = 1 또는 |y| = 1)
3STEP 3

정사각형 위에서 항별로 막기

각 항이 저마다 쉬운 천장을 갖는다.

x² ≤ 1, -6x ≤ 6, y² ≤ 1 ⟹ x² - 6x + y² ≤ 1 + 6 + 1 = 8
4STEP 4

그 천장에 실제로 닿는지 확인하기

한 모서리가 셋을 동시에 만족한다.

(x,y) = (-1,1): |-1+1| + |-1-1| = 0 + 2 = 2 ✓, (-1)² - 6(-1) + 1² = 1 + 6 + 1 = 8
5STEP 5

거리 그림으로 교차 확인하기

완전제곱으로 확인해도 8이다, 보기 (D).

x² - 6x + y² = (x-3)² + y² - 9; (-1-3)² + (± 1)² - 9 = 16 + 1 - 9 = 8 → (D) 8
정답
8
테두리 위의 점들을 몇 개 찍어 보면 8이 꼭대기임이 유지된다. (1,0): |1| + |1| = 2이고 값은 1 - 6 + 0 = -5. (0,1): |1| + |-1| = 2이고 값은 0 - 0 + 1 = 1. (-1,0): |-1| + |-1| = 2이고 값은 1 + 6 + 0 = 7. (-1, 1/2): |-1/2| + |-3/2| = 2이고 값은 1 + 6 + 1/4 = 7.25. (-1, ± 1): 8. 8을 넘는 것이 없고, 선택지들도 스스로를 설명한다. (C) 7은 정확히 (-1,0)에서의 값으로, x를 -1까지 밀어놓고도 바로 그 꼭짓점에서 y가 ± 1일 수 있다는 것을 잊은 사람이 걸리는 함정이다. (E) 9는 y² = 2를 필요로 하는데 |y| ≤ 1이 확립된 이상 불가능하다. (D) 8에 닿으려면 두 극단이 한 점에서 동시에 일어나야 하고, 정사각형의 꼭짓점이 바로 그런 자리다.
💡핵심 정리

|x+y| + |x-y| = 2는 |x|와 |y| 중 큰 쪽이 1이라는 말을 돌려 한 것이어서 점은 단위 정사각형의 테두리 위에 있다. 꼭짓점 (-1, ± 1)에서는 -6x와 y²이 동시에 최대가 되고, x² - 6x + y²은 (D) 8에 도달한다.

  • 절댓값 두 개를 하나로 접기
  • 가능한 영역을 정확히 읽어내기
  • 정사각형 위에서 항별로 막기
  • 그 천장에 실제로 닿는지 확인하기
  • 거리 그림으로 교차 확인하기

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