AMC 10 · 2011 · #4
학년 6 rate-ratio weighted-averageratio-proportionmean-median-mode-range convert-to-algebra ↑ 선수 지식: ratio-proportion
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
세 무리의 평균을 알고, 무리의 크기가 차례로 두 배씩이다. 전체 평균을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
12
(B)
$\frac{37}{3}$
(C)
$\frac{88}{7}$
(D)
13
(E)
14
풀이 과정
전략 변수 도입하기
세 그룹의 인원수가 다르므로 12, 15, 10을 그냥 평균 내면 안 된다. 5학년 수를 하나의 변수로 두면 나머지 그룹의 인원수를 모두 그 변수로 나타낼 수 있다. 그리고 그 변수는 약분되어 사라지므로, 5학년이 딱 한 명 있다고 생각하고 계산을 가볍게 해도 된다.
1STEP 1
각 그룹의 인원수 정하기
문자 하나가 세 무리 크기를 모두 이름 짓는다.
5학년 = f, 4학년 = 2f, 3학년 = 4f
가장 작은 그룹을 변수 하나로 두면, 비례 관계를 따라 나머지 인원수가 모두 그로부터 만들어진다.
6.RP.A.3Introduce A Variable2STEP 2
전체 평균 식 세우기
평균은 총합을 개수로 나눈 것이다.
평균 = (4f × 12 + 2f × 15 + f × 10)/(4f + 2f + f)
섞인 것의 평균은 세 그룹의 평균을 다시 평균 내는 게 아니라, 모든 시간과 모든 사람을 한데 모아 나누는 것이다.
섞인 것의 평균은 모든 시간과 모든 사람을 한데 모으는 것이지, 세 평균을 다시 평균 내는 것이 아니다.
▸ 왜?
평균은 총합을 개수로 나눈 것이므로, 총합과 개수를 먼저 되세워야 한다.
평균은 합을 개수로 나눈 것산술평균은 합을 값의 개수로 균등하게 나눈 것: 평균 = 합 ÷ 개수 (따라서 합 = 평균 × 개수).
▸ 왜?
전체 무리는 세 무리를 모은 것 그대로이므로, 총합과 개수를 그냥 더하면 된다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
총합 계산하기
두 합 모두 같은 미지수를 품는다.
48f + 30f + 10f = 88f, 4f + 2f + f = 7f
각 평균에 그 그룹의 인원수만큼 가중치를 주는 것은, 그룹마다 인원수 곱하기 시간을 구해 더하는 것과 같다.
5.NBT.B.5Analyze The Units4STEP 4
나누고 f 약분하기
그것이 상쇄되어 88/7이 남는다, 보기 (B).
88f/7f = 88/7
분자와 분모가 같은 f에 비례하므로 그 비는 고정되고, 따라서 실제 인원수는 상관이 없다.
5.NF.B.3Solve An Easier Related Problem정답
88/7
전체 평균 88/7 ≈ 12.57은 가장 작은 그룹 평균(10)과 가장 큰 그룹 평균(15) 사이에 있는데, 참된 평균은 반드시 그래야 한다. 인원이 가장 많은 그룹(3학년, 4f명)이 12분을 달리므로 평균이 12 쪽으로 당겨진다. 이는 선택지 (C)와 맞고, 정확히 12(A)나 13 이상(D, E)을 배제한다.
💡핵심 정리
크기가 다른 그룹의 평균을 낼 때는 세 평균이 아니라, 모두의 시간을 더해서 모두의 인원수로 나눈다.
- 각 그룹의 인원수 정하기
- 전체 평균 식 세우기
- 총합 계산하기
- 나누고 f 약분하기