AMC 10 · 2011 · #8
학년 6 patternalgebra recursive-sequencesystems-of-equations pattern-recognitionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pattern-recognition
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
이웃한 세 항의 합이 언제나 같고, 한 항의 값을 안다. 양 끝 두 항의 합을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
17
(B)
18
(C)
25
(D)
26
(E)
43
풀이 과정
전략 패턴 찾기
'이웃한 세 항의 합이 30'이라는 규칙은 겹치는 묶음끼리를 연결해 준다. 겹치는 두 묶음을 식으로 써서 비교하면, 수열이 세 항마다 반복되는 패턴이 드러난다. 이 반복을 알면 각 항을 일일이 구하지 않고도 C와 합 규칙만으로 곧장 A+H를 얻을 수 있다.
1STEP 1
합 규칙을 문자로 쓰기
겹치는 두 묶음이 같은 두 항을 공유한다.
A+B+C = 30 B+C+D = 30
항에 문자를 붙이면 말로 된 규칙이 나란히 놓고 비교할 수 있는 식으로 바뀐다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2STEP 2
겹치는 두 묶음 비교하기
비교하면 두 항이 같아진다.
A + (B+C) = D + (B+C) → A = D
같은 합이 공통 부분을 나눠 가지면, 남은 부분도 서로 같을 수밖에 없다.
합이 같은 두 값이 공통된 부분을 지닌다면, 남는 부분도 같아야 한다.
▸ 왜?
양쪽에서 같은 조각을 덜어 내도 그 차는 그대로, 곧 0으로 남는다.
둘을 같이 옮기면 차는 그대로두 점을 수직선에서 같은 거리만큼 밀면 둘 사이의 간격은 결코 변하지 않는다.
▸ 왜?
그 같음이 각 항을 세 걸음 앞의 항에 묶으므로, 목록이 셋마다 영원히 되풀이된다.
주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.
3STEP 3
세 항마다 반복되는 패턴 찾기
따라서 줄이 세 항마다 반복된다.
A, B, C, A, B, C, A, B → H = B
모든 항을 세 칸 앞의 항과 묶는 규칙은 수열을 세 개씩 반복되도록 만든다.
4.OA.C.5Look For A Pattern4STEP 4
A+H를 A+B로 바꿔 마무리하기
양 끝의 합은 25, 보기 (C).
A+H = A+B = 30 - C = 30 - 5 = 25
H가 사실은 B와 같다는 걸 알면, 맨 앞 묶음의 합 규칙이 곧바로 A+B를 알려 준다.
6.EE.B.7Introduce A Variable정답
25
구체적인 수열로 패턴을 확인해 보자. A=10, B=15로 잡으면 C=5일 때 A+B+C=30이 되고, 반복 규칙에 따라 10,15,5,10,15,5,10,15가 된다. 이웃한 세 항은 모두 합이 30이고 A+H = 10+15 = 25로 (C)와 맞는다. 시작값을 다르게 잡아도(예: A=0, B=25) A+H=25가 그대로 나와, 답이 어떤 항 값을 골랐는지에 의존하지 않음을 확인할 수 있다.
💡핵심 정리
겹치는 묶음들이 모두 같은 합이 되면 수열이 반복되므로, 멀리 있는 항도 사실은 가까운 항이 모습만 바꾼 것이다.
- 합 규칙을 문자로 쓰기
- 겹치는 두 묶음 비교하기
- 세 항마다 반복되는 패턴 찾기
- A+H를 A+B로 바꿔 마무리하기