AMC 10 · 2011 · #1
학년 5 arithmetic order-of-operationsfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
같은 두 합으로 만든 두 분수가 서로 역수다. 그 차를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
-1
(B)
$\frac{5}{36}$
(C)
$\frac{7}{12}$
(D)
$\frac{147}{60}$
(E)
$\frac{43}{3}$
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
이 식은 작은 일이 여러 개 쌓여 있으므로 — 합 두 개, 분수 두 개, 뺄셈 하나 — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 하나씩 처리합니다: 수를 더하고, 각 분수를 만들어 약분하고, 그다음 뺍니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 점검을 해 줍니다: 더 큰 분수(4/3)가 먼저 오고 더 작은 분수(3/4)를 빼므로 결과는 양수이지만 작습니다 — 그것만으로 음수 (A)와 큰 값 (D), (E)가 지워집니다.
1STEP 1
짝수와 홀수 더하기
두 무리의 합은 12와 9다.
2+4+6 = 12, 1+3+5 = 9
각 수 더미를 먼저 하나의 수로 바꾸면 분수가 단순하고 읽기 쉬워집니다.
2.NBT.B.5Identify Subproblems2STEP 2
두 분수를 만들고 약분하기
두 분수 모두 깔끔하게 약분된다.
12/9 = 4/3, 9/12 = 3/4
분자와 분모를 같은 수로 나누면 분수의 값은 그대로이면서 다루기 쉬운 작은 수가 됩니다.
4.NF.A.1Identify Subproblems3STEP 3
공통분모로 빼기
빼면 7/12, 보기 (C).
4/3 - 3/4 = 16/12 - 9/12 = 7/12 → (C)
두 분수는 분모가 같아져야 뺄 수 있고, 그다음에는 분자만 빼면 됩니다.
두 분수는 분모가 같아진 뒤에야 뺄 수 있으며, 그 다음에는 분자만 빼면 된다.
▸ 왜?
분자와 분모에 같은 것을 곱하면 크기를 바꾸지 않고 분수의 이름만 달라진다.
동치분수분수의 분자와 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 값은 변하지 않는다.
▸ 왜?
분수는 한 전체의 같은 조각을 세는 것이며, 크기가 같은 조각끼리만 함께 셀 수 있다.
분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
정답
7/12
이 식은 x=4/3 일 때 x - tfrac1x 형태이며 x 는 1 보다 조금 큽니다. 어떤 수에서 그보다 조금 작은 그 역수를 빼면 작은 양수가 나오므로 답이 0과 1 사이인 것이 정확히 맞습니다 — 7/12≈ 0.58이 들어맞습니다. 이는 음수 (A), 2 보다 큰 (D), 아주 큰 (E)를 곧바로 지우며, 5/36≈ 0.14 (B)는 너무 작습니다.
💡핵심 정리
각 작은 더미를 먼저 하나의 수로 더하고, 분수를 약분한 뒤, 분모를 맞추고 나서 빼세요.
- 짝수와 홀수 더하기
- 두 분수를 만들고 약분하기
- 공통분모로 빼기