AMC 10 · 2011 · #14
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
문제에 특정한 포물선이 없으니 "y = x²이라고 두자"라고 선언하고 계산하고 싶어진다. 하지만 그것은 이 문제가 진짜로 묻는 것, 곧 모든 포물선이 같은 각을 준다는 사실을 미리 가정해 버리는 것이다. 도구 #4(변수 도입하기)는 그 가정을 아예 피한다. 그림 속 유일한 길이를 d = VF라고 이름 붙이고 숫자를 정하지 않는다. 도구 #1(그림 그리기)로 준선을 그려 넣으면 초점-준선 정의가 실제로 쓸 수 있는 거리로 바뀐다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 작업을 세 가지 작은 물음으로 나눈다. F는 준선에서 얼마나 떨어져 있는가, AF는 얼마인가, AV는 얼마인가. 그러면 모든 길이가 d의 배수로 나오고, 코사인법칙이 비를 만들 때 d가 약분되어 답이 모든 포물선에 대해 한 번에 증명된다. "가정하자"가 필요 없다. 마지막에는 도구 #15(다르게 정리하기)로 같은 그림을 좌표와 벡터로 다시 표현해, 다른 방식으로 독립적인 검산을 한다.
준선을 그리고 길이 하나에 이름 붙이기
준선과 길이 하나가 그림을 세운다.
꼭짓점은 초점과 준선의 한가운데 지점이므로, 초점은 꼭짓점보다 두 배 멀리 나가 있다.
10.G-GPE.A.2Draw A DiagramA와 B를 정확히 못 박기
정의가 두 교점을 못박는다.
현이 준선과 나란히 뻗으므로 준선까지의 거리가 2d로 고정되고, 그러면 초점까지의 거리도 2d로 고정된다.
10.G-CO.C.9Introduce A Variable두 변 VA와 VB 구하기
꼭짓점에서 나온 두 변이 같다.
현이 축과 직각으로 만나므로 그림의 양쪽 절반이 각각 변의 길이가 d와 2d인 직각삼각형이 된다.
10.G-SRT.C.8Identify Subproblems코사인법칙, 그리고 d가 사라지는 것 지켜보기
코사인법칙에서 붙인 길이가 사라진다.
그림 속 모든 길이가 d의 정해진 배수이므로, 길이의 비는 d에 전혀 의존할 수 없다.
그림 속의 모든 길이가 하나의 거리의 정해진 배수이므로, 길이의 비는 그 거리에 매일 수 없다.
▸ 왜?
두 변과 그 사이 각을 알면 나머지 한 변은 그것만으로 정해진다.
▸ 왜?
모든 길이에 같은 배율을 곱해도 길이의 비는 그대로 남는다.
벡터로 독립 검산하기
벡터로도 -3/5가 확인된다, 보기 (B).
좌표와 내적은 코사인법칙을 전혀 쓰지 않고 같은 비에 도달하므로, 두 경로 중 어느 쪽도 다른 쪽에 기대고 있지 않다.
10.G-GPE.B.4Organize Information In More Ways숫자를 정하는 대신 가진 길이 하나에 이름을 붙여라. 마지막에 그 이름이 약분되어 사라진다면, 네가 찍은 하나가 아니라 모든 포물선에 대해 답을 증명한 것이다.
- 준선을 그리고 길이 하나에 이름 붙이기
- A와 B를 정확히 못 박기
- 두 변 VA와 VB 구하기
- 코사인법칙, 그리고 d가 사라지는 것 지켜보기
- 벡터로 독립 검산하기