AMC 10 · 2011 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

perpendicular-bisectorcoordinate-geometryarea-trianglesequilateral-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: perpendicular-bisector

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

마름모 안에서 다른 어느 꼭짓점보다 한 꼭짓점에 가까운 점들이 영역을 이룬다. 그 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

(B)

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

(C)

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

(D)

$1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$

(E)

풀이 과정

전략 그림 그리기

"B 에 더 가깝다"는 위치에 관한 말이므로 Tool #1 (그림 그리기)이 기준점이다: 마름모를 그리고, 120° 각이 마름모를 두 개의 정삼각형으로 가른다는 것을 알아채고, R 의 경계가 어디를 지나는지 상상한다. Tool #4 (변수 도입하기)로 좌표를 잡으면 "더 가깝다"가 비교할 수 있는 거리가 된다. "B 에 더 가까운 쪽"과 "이웃 꼭짓점에 더 가까운 쪽"의 경계는 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선이므로 R 은 오각형이 된다. 그다음 Tool #7 (작은 문제로 쪼개기)로 수직이등분선을 하나씩 따라 그 오각형의 꼭짓점을 찾고 넓이를 더한다.

1STEP 1

마름모를 두 삼각형으로 나누기

각이 대각선 하나를 변과 같게 만든다.

∠ A = 180° - 120° = 60° → BD = 2

2STEP 2

도형을 좌표평면에 놓기

좌표가 모든 꼭짓점을 배치한다.

B=(0,0), A=(1,√(3)), C=(1,-√(3)), D=(2,0)

3STEP 3

"B 에 더 가깝다"를 경계선으로 바꾸기

각 비교는 수직이등분선이다.

BD 의 수직이등분선: x=1; BA 의 중점=(1/2,√(3)/2)

4STEP 4

오각형의 다섯 꼭짓점 찾기

그 선들이 오각형을 잘라낸다.

(0,0), (1/2,√(3)/2), (1,√(3)/3), (1,-√(3)/3), (1/2,-√(3)/2)

5STEP 5

오각형의 넓이 더하기

그 넓이는 2√3/3, 보기 (C).

넓이=1/2|Σ(x_i y_i+1-x_i+1y_i)|=1/2·4√(3)/3=2√(3)/3

정답

2√(3)/3

마름모 전체 넓이는 2×√(3)/4 · 2² = 2√(3)≈ 3.46이고, 2√(3)/3≈ 1.15는 정확히 그 1/3이다. 수치도 맞다: 선택지 (C) ≈ 1.15는 (A) ≈ 0.58과 (D) ≈ 1.58 사이에 자연스럽게 놓여, R 이 마름모 전체도 아니고 얇은 조각도 아닌 그럴듯한 크기임을 보여 준다.

💡핵심 정리

두 꼭짓점 사이의 공정한 경계는 그 중간선이므로, "B 에 가장 가까운" 영역은 넓이를 그냥 더하면 되는 작은 오각형이다.

마름모를 두 삼각형으로 나누기
도형을 좌표평면에 놓기
"B 에 더 가깝다"를 경계선으로 바꾸기
오각형의 다섯 꼭짓점 찾기
오각형의 넓이 더하기

마름모를 두 삼각형으로 나누기

도형을 좌표평면에 놓기

"B 에 더 가깝다"를 경계선으로 바꾸기

오각형의 다섯 꼭짓점 찾기

오각형의 넓이 더하기

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