AMC 10 · 2011 · #20
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
두 원의 방정식을 그대로 붙잡고 계산할 수도 있지만 그것은 앞이 보이지 않는 길이다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 주도구이다. "이 두 원은 어디서 만나는가"를 묻는 대신 "이 삼각형에서 이미 유명한 점 중에 두 원이 반드시 품을 수밖에 없는 점이 있는가"를 묻는다. 그 점이 외심 O 이다. D, E 가 중점이고 O 는 모든 수직이등분선 위에 있으므로 D, E, F 에서 직각이 만들어지기 때문이다. 도구 #1(그림 그리기)로 그 직각들을 눈에 보이게 한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 서로 독립적인 두 덩어리로 나눈다 — 먼저 X = O 를 증명하고, 그다음 외접원의 반지름 R 을 계산한다. 도구 #3(가능성 지우기)이 진짜 엄밀함을 담당한다. 교점의 집합이 정확히 {E, O} 임을 보여야 X ≠ E 로부터 X = O 만 남기 때문이다. 대부분의 풀이가 건너뛰는 곳이 바로 여기다 — 공통점을 하나 찾는 것은 필요조건일 뿐이고, 세 번째 후보가 없음을 배제해야 X = O 가 확정된다.
외심을 끌어들이기
외심이 모든 중점에서 직각을 이룬다.
두 끝점에서 같은 거리에 있는 점은 그 선분의 수직이등분선 위에 있고, 그 수직이등분선은 중점에서 선분과 직각으로 만난다.
두 끝점에서 같은 거리에 있는 점은 그 수직이등분선 위에 있으며, 그 선은 선분의 중점에서 만난다.
▸ 왜?
같은 거리에 있는 그 점들이 바로 한 끝점을 다른 끝점 위로 접는 선을 이룬다.
▸ 왜?
모든 꼭짓점이 그 중심에서 같은 거리에 있으므로, 셋 모두 그 둘레의 한 원 위에 놓인다.
직각이 O를 두 원 위로 밀어 넣는다
직각이 그것을 두 원 위에 올린다.
직각은 지름이 남기는 지문이다. 어떤 선분을 90° 로 바라보고 있다면 그 선분이 가로지르는 원 위에 서 있는 것이다.
10.G-C.A.2Change Focus Count The ComplementX의 다른 후보를 모두 지우기
숨은 점이 될 수 있는 다른 점은 없다.
서로 다른 두 원은 많아야 두 점을 공유하므로, 그 두 점을 이름 붙이고 나면 세 번째 후보가 될 자리가 남지 않는다.
10.G-CO.A.1Eliminate Possibilities합을 반지름 세 개로 접기
따라서 합이 세 반지름으로 줄어든다.
모든 꼭짓점이 외심에서 같은 거리에 있으므로 세 항의 합이 한 번의 측정을 세 배 한 것으로 줄어든다.
10.G-C.A.3Identify Subproblems높이로 13-14-15를 쪼개기
높이가 삼각형을 정수로 쪼갠다.
높이 하나가 다루기 까다로운 부등변삼각형을 익숙한 피타고라스 수로 이루어진 직각삼각형 둘로 바꿔 준다.
8.G.B.7Identify Subproblems닮은 삼각형에서 반지름 읽어내기
닮은 삼각형이 반지름 65/8을 준다.
높이와 지름이 잘라낸 두 직각삼각형이 같은 원주각을 공유하므로 대응변의 비가 같아진다.
10.G-SRT.B.5Identify Subproblems반지름을 세 배 해서 선택지 맞추기
세 배 하면 195/8, 보기 (C).
반지름이 정확해지면 합은 곱셈 한 번이고, 여기서는 정확한 값만이 옳은 선택지를 고를 수 있다.
7.NS.A.2Eliminate Possibilities중점과 외심이 만나면 직각이 생기고, 직각은 그 선분을 지름으로 하는 원 위에 서 있다는 신호다. 그래서 두 원이 모두 외심을 지날 수밖에 없고, 세 거리의 합은 반지름 하나를 세 번 센 것이 된다.
- 외심을 끌어들이기
- 직각이 O를 두 원 위로 밀어 넣는다
- X의 다른 후보를 모두 지우기
- 합을 반지름 세 개로 접기
- 높이로 13-14-15를 쪼개기
- 닮은 삼각형에서 반지름 읽어내기
- 반지름을 세 배 해서 선택지 맞추기
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