AMC 10 · 2011 · #24

학년 11 algebrageometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

complex-numbersroots-of-unitypolynomial-factoringcomplex-polar-form optimization ↑ 선수 지식: complex-numbers

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

여덟 개의 복소수 영점을 어떤 순서로든 이어 닫힌 고리를 만든다. 가능한 가장 작은 둘레를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$4\sqrt{3} + 4$

(B)

$8\sqrt{2}$

(C)

$3\sqrt{2} + 3\sqrt{6}$

(D)

$4\sqrt{2} + 4\sqrt{3}$

(E)

$4\sqrt{3} + 6$

풀이 과정

전략 극단의 원리

2520 개의 서로 다른 팔각형에 대한 최솟값을 묻고 있으므로 마무리는 Tool #14 (극단의 원리)가 맡아야 하고, 정직한 두 단계로 해야 한다: 어떤 팔각형도 이길 수 없는 값을 먼저 증명하고, 그 값을 실제로 달성하는 팔각형을 제시하는 것이다. 그럴듯해 보이는 팔각형 하나의 둘레를 계산하는 것만으로는 아무것도 증명되지 않는다 — 선택지 4√(3)+4 ≈ 10.93은 그 팔각형이 주는 값보다 작으므로, 배제되기 전까지 "다른 순서가 더 나을 수도 있다"는 가능성은 살아 있다. Tool #7 (작은 문제로 쪼개기)로 일을 나눈다: 먼저 여덟 근을 찾고, 다음에 거리를 재고, 마지막에 최소화한다. 찾는 일은 Tool #4 (변수 도입하기)가 한다 — w = z⁴로 두면 8 차식이 이차식이 되고, z = a+bi 로 두면 남은 네 근이 평범한 대수로 나온다. Tool #1 (그림 그리기)은 여덟 점이 실제로 무엇인지 보여 준다: 정사각형 두 개, 하나는 45° 돌아가 있고 더 크다. 최솟값의 핵심 수는 Tool #15 (다르게 정리하기)다 — 팔각형을 쫓는 대신 28 개의 점 사이 거리를 모두 정리하면 값이 네 가지로 줄어든다. 가능한 가장 짧은 변을 알고 나면 하한은 바로 나온다.

1STEP 1

z⁴에 대한 이차식 보기

그 다항식은 거듭제곱에 대한 이차식이다.

P(z) = (z⁴ - 1)(z⁴ + 4√(3) + 7)

2STEP 2

1의 네 제곱근

한 인수가 단위 원 위의 네 점을 준다.

z⁴ = 1 ⇔ z ∈ {1, i, -1, -i}

3STEP 3

두 번째 사차식을 손으로 풀기

다른 인수가 더 큰 원 위에 넷을 더 준다.

z = ±(1+√(3))/2(1+i), z = ±(1+√(3))/2(1-i)

4STEP 4

정사각형 둘, 하나는 45° 회전

따라서 정사각형 둘이고 하나는 45도 돌아 있다.

R² = 2+√(3), R = (√(6)+√(2))/2, R√(2) = 1+√(3)

5STEP 5

단위 점들은 안쪽에 완전히 들어 있다

안쪽 넷은 완전히 안에 있다.

1 ＜ (1+√(3))/2 ≈ 1.366

6STEP 6

거리는 네 종류뿐

생기는 거리는 네 가지뿐이다.

d² = r²+s²-2rscosθ ⟹ d ∈ {√(2), 2, 1+√(3), √(6)+√(2)}

7STEP 7

모든 변은 √(2) 이상

따라서 모든 변이 그중 가장 작은 것 이상이다.

둘레 = Σ_k=1⁸ (변_k) ≥ 8√(2)

8STEP 8

각도 순서가 하한을 달성한다

각도 순으로 이으면 8√2에 닿는다, 보기 (A).

8 × √(2) = 8√(2)

정답

8√(2)

서로 독립인 두 가지 확인. 크기: 이 팔각형은 반지름 1 인 원과 R ≈ 1.932 인 원 사이에 놓이고, 큰 원의 둘레는 2π R ≈ 12.1이다. 둘레 8√(2) ≈ 11.31은 그 바로 아래에 있으니, 계속 안쪽으로 파고드는 모양으로서 타당하다. 모양: 안쪽 정사각형의 한 변이 √(2)이고, 각 바깥쪽 점은 양옆 안쪽 점 둘 모두로부터 거리 √(2) 이므로, 잘려 나오는 네 삼각형은 각각 한 변이 √(2) 인 정삼각형이다 — 즉 이 팔각형은 한 변이 √(2) 인 정사각형의 네 변 위에 정삼각형을 바깥으로 붙인 도형이다. 그 도형의 바깥 반지름은 √(2)/2 + √(3)/2√(2) = (√(2)+√(6))/2 = R 로 다항식에서 구한 절댓값과 일치하고, 둘레는 삼각형의 변 8 개, 다시 8√(2)이다. 이 팔각형은 등변이지만 정팔각형과는 거리가 멀다는 점에 유의하라: 내각이 바깥쪽 점에서 60°, 안쪽 점에서 210° 로 번갈아 나타나며 (4 × 60 + 4 × 210 = 1080 = (8-2) × 180), 정팔각형으로 취급해서 얻은 답은 틀리게 된다. 끝으로 최소를 주는 팔각형은 유일하다: 바깥쪽 점은 거리 √(2) 인 상대가 양옆 이웃 둘뿐이므로, 둘레가 8√(2) 인 팔각형은 모든 바깥쪽 점에서 그 두 변을 반드시 써야 하고 — 이는 정확히 각도 순서 팔각형만을 강제한다.

💡핵심 정리

여덟 근은 작은 정사각형과 크고 돌아간 정사각형 두 개이고, 그중 어떤 두 점도 √(2) 보다 가까워지지 않는다 — 그래서 변 여덟 개의 값은 적어도 8√(2)이고, 각도 순서로 돌면 정확히 그만큼만 치른다.

z⁴에 대한 이차식 보기
1의 네 제곱근
두 번째 사차식을 손으로 풀기
정사각형 둘, 하나는 45° 회전
단위 점들은 안쪽에 완전히 들어 있다
거리는 네 종류뿐
모든 변은 √(2) 이상
각도 순서가 하한을 달성한다