AMC 10 · 2012 · #10

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

area-trianglesmedian-of-triangletrigonometric-ratiossine-area-formula identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-trianglestrigonometric-ratios

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

삼각형의 넓이, 한 변, 그 변에 그은 중선을 모두 안다. 둘이 이루는 각의 사인을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3}{10}$

(B)

$\frac{1}{3}$

(C)

$\frac{9}{20}$

(D)

$\frac{2}{3}$

(E)

$\frac{9}{10}$

풀이 과정

전략 그림 그리기

주어진 세 수는 각각 서로 다른 것을 통제하며, 문제의 핵심은 그중 어느 두 개가 그 각에서 만나는지를 알아보는 것이다. 밑변을 AB = 10으로 잡으면 넓이가 통제하는 것은 단 하나, C에서 직선 AB까지의 거리이다. 중선이 통제하는 것은 또 하나, C에서 D까지의 거리이다. 점 D에서의 각의 사인은 바로 앞의 것을 뒤의 것으로 나눈 값이므로, 보조선 하나 — C에서 직선 AB에 내린 수선 — 만 그으면 두 변이 이미 알려진 직각삼각형 문제로 바뀐다. 이것이 도구 #1이다. 높이를 먼저 구하는 것은 깔끔한 작은 문제이다(도구 #7). 그림만으로는 해결되지 않는 두 가지가 남는다. 이런 삼각형이 정말 존재하는가, 그리고 어떤 그림을 그리든 답이 달라지지 않는가이다. 좌표(도구 #4)로 삼각형을 하나 명시적으로 만들고, 그 좌표 결과를 반사(대칭)의 관점으로 다시 읽으면(도구 #15) 다른 모든 그림이 그것과 합동임을 알 수 있다.

1STEP 1

변, 중점, 중선에 이름 붙이기

중점이 변을 반으로 나눈다.

AD = DB = 10/2 = 5, CD = 9, [ABC] = 30

2STEP 2

넓이가 높이를 결정한다

넓이가 높이를 6으로 정한다.

30 = 1/2 · 10 · h → h = 6

3STEP 3

중선이 곧 빗변이다

중선이 그 직각삼각형의 빗변이다.

sinθ = CE/CD = 6/9 = 2/3

4STEP 4

그런 삼각형이 존재하는지 확인하기

그런 삼각형이 실제로 존재한다.

|y| = 6, x² + y² = 81 → x² = 45 → x = ± 3√(5)

5STEP 5

어떤 그림도 답을 바꾸지 못한다

어떤 배치든 2/3이다, 보기 (D).

C ∈ {(± 3√(5), ± 6)} → sinθ = 6/9 = 2/3

정답

2/3

모든 점검이 일치한다. 사인은 0과 1 사이여야 하는데 2/3은 그 범위에 있다. 그 값이 1보다 엄밀히 작은 이유는 높이 6이 중선 9보다 엄밀히 작기 때문이다. 만약 중선도 6이었다면 그 각은 직각이 되어 예각이 존재하지 않고, 중선이 6보다 짧은 것은 불가능하다. 명시적으로 잡은 꼭짓점 C = (3√(5), 6)이 세 조건을 모두 재현하므로 답은 공허하지 않다. 오답 보기들은 모두 잘못된 두 수의 비이다. 9/10은 중선을 변으로 나눈 값, 9/20은 중선을 변의 두 배로 나눈 값, 3/10은 높이를 변의 두 배로 나눈 값, 1/3은 높이의 절반을 중선으로 나눈 값이다. θ에서 실제로 한 변과 빗변으로 만나는 두 길이, 즉 높이를 중선으로 나눈 것만이 2/3을 준다.

💡핵심 정리

넓이는 먼 꼭짓점이 그 변에서 얼마나 떨어져 있는지를 알려 주고, 그 거리를 중선의 길이로 나누면 둘이 이루는 각의 사인이 된다.

변, 중점, 중선에 이름 붙이기
넓이가 높이를 결정한다
중선이 곧 빗변이다
그런 삼각형이 존재하는지 확인하기
어떤 그림도 답을 바꾸지 못한다

변, 중점, 중선에 이름 붙이기

넓이가 높이를 결정한다

중선이 곧 빗변이다

그런 삼각형이 존재하는지 확인하기

어떤 그림도 답을 바꾸지 못한다

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