AMC 10 · 2012 · #12

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

coordinate-geometrycircle-equationtangent-circlesquadratic-equations convert-to-algebracoordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryquadratic-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정사각형이 한 변으로 안쪽 원에 닿고 두 꼭짓점이 바깥 원 위에 있다. 정사각형의 변을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\sqrt{10}+5}{10}$

(B)

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(C)

$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

(D)

$\frac{2\sqrt{19}-4}{5}$

(E)

$\frac{9-\sqrt{17}}{5}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

이 문제에서 한 변의 길이만 빼면 모든 것이 좌표로 고정되어 있다. 그러니 그 길이를 s라고 이름 붙이면 그림이 곧바로 식이 된다. 접한다는 사실이 CD가 놓인 직선을 결정하고, 그러면 AB의 높이는 1+s로 정해진다. 한 가지 조심할 것은 정사각형의 좌우 대칭이다. 그림을 보고 대칭이라고 가정하고 싶어지지만, 수평선은 원을 서로 거울상인 두 점에서 만나므로 대칭은 가정하지 않고 증명할 수 있다. 그 뒤로는 이차방정식 하나면 끝나고, 마지막 확인으로 그 근이 문제가 말한 그림을 실제로 만들어 내는지 검증한다.

1STEP 1

변 CD가 놓인 직선 고정하기

접점이 한 변의 직선을 정한다.

(0,1)로 가는 반지름이 수직 → 접선은 y=1 → CD ⊂ {y=1}, 정사각형은 y ≥ 1

2STEP 2

변의 길이에 이름 붙이고 맞은편 변 놓기

맞은편 변은 한 변만큼 위에 있다.

s = 한 변의 길이, CD ⊂ {y=1}, AB ⊂ {y=1+s}

3STEP 3

대칭은 가정이 아니라 따라 나온다

대칭은 가정이 아니라 따라 나온다.

x²+(1+s)²=4 → x=±√(4-(1+s)²) → AB = 2√(4-(1+s)²)

4STEP 4

AB를 나타내는 두 식 맞추기

그 변에 대한 두 식이 일치해야 한다.

s = 2√(4-(1+s)²) ⟺ (s/2)²+(1+s)² = 2²

5STEP 5

이차방정식 풀기

그것은 단순한 이차방정식이다.

5s²+8s-12=0 → s=-8±√(304)/10=(-4± 2√(19))/5

6STEP 6

그 근이 정말 정사각형을 만드는지 확인하기

양의 근이 실제로 정사각형을 만든다.

s=(2√(19)-4)/5≈ 0.9436 ＜ 1, 1+s≈ 1.9436 ＜ 2, -s/2 ＜ 0 ＜ s/2

7STEP 7

선택지 고르기, 단 조심스럽게

비슷해 보이는 보기는 식을 만족하지 못하므로 (A)가 답이다.

(2√(19)-4)/5≈ 0.94356 대 2√(2)/3≈ 0.94281; 5(2√(2)/3)²+8·2√(2)/3-12≈ -0.0131 ≠ 0

정답

(2√(19)-4)/5

s=(2√(19)-4)/5≈ 0.943560으로 정사각형을 다시 만들어 모든 조건을 수치로 검사한다. 위쪽 두 꼭짓점은 (±s/2,1+s)≈(± 0.471780, 1.943560)이고 0.471780²+1.943560²≈ 0.222576+3.777424=4.000000이므로 A와 B는 정말 x²+y²=4 위에 있다. 아래 변은 y=1 위에서 x≈-0.4718부터 x≈ 0.4718까지 뻗어 접점 (0,1)을 품고, 그 점의 원점까지 거리는 정확히 1이다. 정사각형의 다른 모든 점은 y ≥ 1이면서 |x| ＞ 0이므로 원점까지 거리가 1보다 크고, 따라서 단위원과는 그 한 점에서만 닿는다. 크기 감각도 맞는다. 정사각형은 y축을 따라 보면 두 원 사이의 폭 2-1=1 안에 들어가야 하는데, s≈ 0.94로 1보다 조금 작다. 꼭짓점이 대각선 방향으로 바깥 원 쪽으로 뻗기 때문이다. 이 감각만으로도 선택지 (E) ≈ 0.9754는 너무 커서 불가능하고, (A) ≈ 0.816과 (B) ≈ 0.894는 위쪽 꼭짓점이 큰 원 안쪽에 머물러 탈락한다.

💡핵심 정리

수평선은 원을 거울상인 두 점에서만 만날 수 있으므로 정사각형의 좌우 대칭은 가정하지 않고 증명할 수 있고, 그다음은 피타고라스 식 하나로 끝난다.

변 CD가 놓인 직선 고정하기
변의 길이에 이름 붙이고 맞은편 변 놓기
대칭은 가정이 아니라 따라 나온다
AB를 나타내는 두 식 맞추기
이차방정식 풀기
그 근이 정말 정사각형을 만드는지 확인하기
선택지 고르기, 단 조심스럽게