AMC 10 · 2012 · #16
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
모르는 반지름과 주어진 세 길이를 잇는 연결 고리는 단 하나다. OX와 OY는 C₁의 반지름이면서 동시에 C₂의 같은 길이 현이다. 같은 길이의 현은 Z에서 볼 때 같은 각으로 보이므로 직선 ZO는 각 XZY를 이등분한다. 이등분선은 곧 거울이고, 그 거울로 Y를 뒤집으면 길이 7이 선분 ZX 위에 내려앉아 ZX와 ZY의 쌍이 C₁에 대한 Z의 방멱으로 바뀐다. 이 방멱은 OZ² - r²과도 같으므로 반지름이 곧바로 나온다. 그림을 제대로 그리는 일이 먼저인데, Z가 C₂의 어느 호에 있는지가 같은 각 논증이 성립하는지 여부를 결정하기 때문이다.
네 점을 한 원 위에 놓기
네 점이 한 원 위에 있다.
한 원의 반지름이 다른 원의 현으로 나타나므로, C₁에 속한 길이를 C₂에서 읽어낼 수 있다.
10.G-C.A.2Draw A DiagramZ가 어느 호에 있는지 확정하기
거리들이 그 점의 호를 확정한다.
문제의 "바깥"이라는 말은 장식이 아니라 네 점이 C₂ 위에 놓이는 순서를 고정하는 조건이다.
10.G-CO.A.1Visualize Spatial RelationshipsZO가 각 XZY를 이등분함을 보이기
호가 같으므로 각이 이등분된다.
길이가 같은 두 현은 반대편 어느 점에서 보아도 같은 너비로 보이므로, Z는 OX와 OY를 같은 각으로 본다.
길이가 같은 두 현은 반대편 어느 점에서 보아도 같은 너비로 보이므로, 중심으로 가는 선이 그 각을 이등분한다.
▸ 왜?
두 현 모두 같은 원의 반지름이므로, 길이가 정확히 같다.
▸ 왜?
같은 길이는 같은 각을 마주 보므로, 두 시야각이 같아야 한다.
이등분선에 대해 Y를 접기
그 이등분선에 대해 접으면 새 점이 생긴다.
이등분선은 거울이고, 그 거울이 따로 놀던 길이 ZY를 선분 ZX의 한 조각으로 바꾼다.
10.G-SRT.B.5Visualize Spatial RelationshipsZ의 방멱으로 관점 바꾸기
바깥 점의 방멱이 논증을 닫는다.
Z를 지나 그은 어떤 직선도 같은 "원까지의 거리"를 알려 주므로, 쉬운 직선 하나가 어려운 직선의 값을 정해 준다.
10.G-SRT.B.5Change Focus Count The Complement반지름 구하기
풀면 √30, 보기 (D).
ZX · ZY는 모습을 바꾼 Z의 방멱이므로 OZ²에서 그대로 빼면 된다.
8.EE.A.2Introduce A Variable그림이 실제로 존재하는지 확인하기
좌표로 그림의 존재가 확인된다.
조건이 강제하는 값은 그 값을 실제로 가진 그림을 가리킬 수 있을 때 비로소 답이 된다.
10.G-GPE.A.1Work Backwards두 반지름 OX와 OY는 큰 원의 같은 길이 현이므로 Z에서 같은 각으로 보이고, 따라서 ZO가 각 XZY를 이등분한다. 그 이등분선에 대해 접으면 ZX · ZY가 Z의 방멱이 되어 r² = OZ² - ZX · ZY가 나온다.
- 네 점을 한 원 위에 놓기
- Z가 어느 호에 있는지 확정하기
- ZO가 각 XZY를 이등분함을 보이기
- 이등분선에 대해 Y를 접기
- Z의 방멱으로 관점 바꾸기
- 반지름 구하기
- 그림이 실제로 존재하는지 확인하기
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