AMC 10 · 2012 · #18
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
선분 BI는 변도, 중선도, 높이도 아니라서 주어진 그림 안에는 이 길이를 직접 재 주는 것이 없다. 도구 #1(그림 그리기)이 빠진 대상을 보태 준다. I에서 각 변에 수선을 내리는 것이다. I가 세 이등분선 위에 모두 있으므로 이 세 수선의 길이는 하나의 공통값 r이 되고, 그 순간 BI는 한 변의 길이가 r인 직각삼각형의 빗변이 된다. 그러면 문제는 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 바뀐다. 나머지 한 변을 구하고, r을 구하고, 피타고라스 정리로 합치면 된다. 첫 번째 작은 문제는 도구 #4(변수 도입하기)가 맡는다. 세 개의 "접점까지의 거리"를 x,y,z로 이름 붙이면 세 변의 길이가 작은 일차 연립방정식으로 바뀐다. 두 번째 작은 문제는 도구 #15(다르게 정리하기)가 맡는다. 삼각형의 넓이를 두 가지 방식으로, 한 번은 세 변에서, 한 번은 꼭짓점 I를 공유하는 세 삼각형으로 쓰면 r이 정해진다. 이 과정 내내 조심할 점은 그림을 가정하지 말고 증명해야 한다는 것이다. 이등분선의 공점성, 각 꼭짓점에서 두 접점 거리가 같다는 것, 수선의 발이 변 안쪽에 놓인다는 것 — 이 세 주장 위에 모든 계산이 서 있다.
점 I가 무엇인지 증명하기
그 점은 세 변에서 똑같이 떨어진 점이다.
각의 이등분선은 그 각의 두 변에서 같은 거리에 있는 점들의 모임 자체이므로, 두 이등분선을 교차시키면 세 변 모두에서 거리가 같아질 수밖에 없다.
각의 이등분선은 정확히 그 각의 두 변에서 같은 거리에 있는 점들의 모임이다.
▸ 왜?
같은 거리에 있는 그 점들이 각의 한 변을 다른 변 위로 접는 선을 이룬다.
▸ 왜?
변까지의 거리는 직각으로 재므로, 그 같은 거리들은 접하는 한 원의 반지름이다.
수선을 내리고 둘씩 짝지어 맞추기
각 꼭짓점의 접선 길이가 같은 짝으로 나온다.
빗변이 같고 한 변도 같은 두 직각삼각형은 서로의 복사본일 수밖에 없으므로, 한 꼭짓점에서의 두 접점 거리는 반드시 일치한다.
10.G-SRT.B.5Draw A DiagramB에서의 접점 거리 구하기
그것이 꼭짓점의 접점 거리 13을 준다.
세 변의 식을 모두 더하면 전체 합이 한 번에 나오고, 그다음에는 자기가 빠져 있는 변을 빼는 것만으로 각 미지수가 튀어나온다.
8.EE.C.8Introduce A Variable세 변에서 넓이 구하기
세 변이 넓이를 곧장 준다.
세 변의 길이가 삼각형을 완전히 고정하므로, 다른 무엇을 정하기도 전에 넓이는 이미 결정되어 있다.
7.G.B.6Identify Subproblems같은 넓이를 두 번째 방식으로 세기
넓이를 다시 세면 안쪽 반지름이 나온다.
하나의 넓이를 서로 다른 두 방식으로 쓰면, 미지의 높이 r이 해가 하나뿐인 방정식으로 바뀐다.
6.G.A.1Organize Information In More Ways두 변으로 BI 조립하기
직각삼각형을 조립하면 15, 보기 (A).
내심을 "변을 따라 얼마나 갔는가"와 "변에서 얼마나 떨어졌는가"로 나타내면, 꼭짓점까지의 거리는 그냥 직각삼각형의 빗변이다.
8.G.B.7Identify Subproblems꼭짓점에서 내심까지 가려면 변을 따라 접점 거리만큼 가고, 그다음 변에서 수직으로 내접원 반지름만큼 가면 된다. 이 둘이 직각삼각형의 두 변이므로 여기서는 BI = √(13² + 56) = 15이다.
- 점 I가 무엇인지 증명하기
- 수선을 내리고 둘씩 짝지어 맞추기
- B에서의 접점 거리 구하기
- 세 변에서 넓이 구하기
- 같은 넓이를 두 번째 방식으로 세기
- 두 변으로 BI 조립하기