AMC 10 · 2012 · #22
학년 10 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
조건은 양쪽 방향이다. 어떤 평면도 정해진 선분 밖에 자국을 남기면 안 되고, 동시에 평면들을 합치면 모든 선분이 나와야 한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이를 독립된 두 질문으로 나눈다 — 애초에 허용되는 평면이 몇 개인가(최댓값은 그 목록의 크기이다), 그리고 그중 몇 개만 있어도 모든 선분을 덮는가. 도구 #4(변수 도입하기)로 정육면체를 [-1,1]³에 놓으면 모든 선분이 방정식이 된다. 핵심은 도구 #17(공간 상상하기)에서 나오는 보조정리이다. 허용되는 평면이 한 면을 가로지를 때, 그 자른 자리는 반드시 표시된 선분 하나 전체여야 한다. 그래서 단면은 표시된 선분으로 이루어진 다각형이고 꼭짓점은 모서리의 중점이다. 이로써 평면에 대한 무한 탐색이 유한 탐색으로 바뀌고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 평면이 향하는 방향별로 정리하면 목록이 닫힌다. 최솟값의 하한은 도구 #14(극단의 원리)가 준다. 각 종류의 평면이 최대 몇 개의 선분을 덮을 수 있는지 계산해, 여섯 개로는 예산이 모자란다는 것을 보인다.
정육면체를 좌표 위에 놓기
좌표가 36개의 자국을 분명히 한다.
표시된 선분은 모두 모서리 중점에서 끝나므로, 좌표 하나가 0이고 둘이 ± 1인 점들이 그림 전체를 설명한다.
10.G-CO.A.1Introduce A Variable허용되는 절단은 자국 전체를 따라간다
절단의 테두리는 자국 전체로 만들어진다.
곧은 현은 이미 그려진 직선 중 하나 위에 있어야 하고, 한 면에서 그 직선의 조각은 곧 표시된 선분 하나이다.
7.G.A.3Visualize Spatial Relationships가능한 방향은 13개뿐
가능한 방향은 13가지뿐이다.
절단면의 변이 자국으로 이루어지므로, 자국이 실제로 뻗는 몇 안 되는 방향이 평면을 묶어 놓는다.
10.G-GPE.B.4Visualize Spatial Relationships방향별로 평면 세기
방향별로 세면 평면이 모두 27개다.
평면이 향하는 방향을 고정하면 허용되는 위치는 몇 개뿐이라, 목록 전체를 직접 적어 낼 수 있다.
7.G.A.3Make A Systematic List일곱 개면 이미 전부 덮는다
그중 7개면 이미 전부 덮는다.
중심을 지나는 평면이 가장 이득이다 — 끝에서 끝까지 가로지르므로 한 장이 가장 많은 선분을 쓸어 담는다.
10.G-CO.A.3Identify Subproblems여섯 개로는 불가능한 이유
세기 논증이 여섯으로는 안 됨을 보인다.
평면마다 덮을 수 있는 한도를 매기면, 최고가 여섯 개짜리이므로 선분 서른여섯 개에는 최소 여섯 장이 필요한데 그 최고 등급이 여섯 장이나 있지 않다.
각 평면에 덮을 예산을 매기면, 가장 좋은 평면이 여섯 선분을 덮으므로 서른여섯 선분에는 적어도 여섯 평면이 필요하다.
▸ 왜?
그보다 적은 평면을 쓰면 어떤 선분은 덮어 줄 평면이 없이 남게 된다.
▸ 왜?
어떤 평면도 그 예산을 넘지 못하므로, 덮인 총수는 평면 수 곱하기 6을 넘을 수 없다.
차를 구하기
폭은 20, 보기 (C).
한쪽 계산은 몇 장까지 허용되는지를, 다른 쪽 계산은 몇 장이면 충분한지를 말해 주고, 문제는 그 간격만 묻는다.
7.EE.B.4Identify Subproblems절단면은 이미 그려진 선 위에만 자국을 남길 수 있으므로, 먼저 허용되는 평면을 전부 나열하고(27개), 그중 모든 자국을 그려 내는 가장 적은 개수를 찾으면 된다(중심을 지나는 7개).
- 정육면체를 좌표 위에 놓기
- 허용되는 절단은 자국 전체를 따라간다
- 가능한 방향은 13개뿐
- 방향별로 평면 세기
- 일곱 개면 이미 전부 덮는다
- 여섯 개로는 불가능한 이유
- 차를 구하기
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
