AMC 10 · 2012 · #10
학년 9 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
"교점"은 기하의 말로 표현한 "연립방정식의 공통해"이므로, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 문제 전체를 미지수 두 개짜리 방정식 두 개로 바꾼다. 핵심 수는 도구 #15(다르게 정리하기)가 준다. 두 방정식 모두 y를 오직 y²의 형태로만 담고 있고, 두 번째 식은 9y²을, 첫 번째 식은 y²을 가진다. 그러니 첫 번째 식에 9를 곱하면 두 y항이 똑같아지고, 한 번의 뺄셈으로 y가 완전히 사라져 x에 대한 이차방정식 하나만 남는다. 이 이차방정식이 증명하는 것은 필요조건뿐이다 — 공통점이 가질 수 있는 x값이 무엇인지만 말해 준다. 도구 #3(가능성 지우기)이 그 틈을 메운다. 살아남은 각 x에 대해 y를 되찾고, 그렇게 얻은 점들을 원래 두 방정식에 모두 대입해 본다. 이 대입이 바로 "이 안에만 있을 수 있다"를 "바로 이것들이다"로 끌어올리는 단계다. 그다음 도구 #1(그림 그리기)로 살아남은 점들을 찍으면 밑변과 높이를 좌표에서 바로 읽을 수 있고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 두 과제를 분리해 준다: 먼저 점을 확정하고, 그다음 넓이를 구한다. 이 계획이 결코 쓰지 않는 것도 눈여겨보자 — 원의 공식도, 타원의 공식도, 이차곡선 이론도 전혀 필요하지 않다. 방정식 두 개의 연립일 뿐이다.
꼭짓점은 두 방정식의 해
꼭짓점은 두 방정식을 모두 만족해야 한다.
"두 곡선 위에 동시에 있다"는 말은 "두 방정식을 동시에 참으로 만든다"는 말의 다른 표현일 뿐이다.
9.A-CED.A.3Convert To Algebra배로 늘린 뒤 빼서 y 지우기
배로 늘려 빼면 변수 하나가 사라진다.
y²의 계수를 맞춰 놓으면 뺄셈 한 번으로 y를 문제에서 통째로 지울 수 있다.
한 변수의 계수를 맞추면 뺄셈 한 번으로 그것을 문제에서 지울 수 있다.
▸ 왜?
참인 등식을 배로 키운 뒤 다른 등식을 빼도 결과는 참으로 남으므로, 그렇게 해도 된다.
▸ 왜?
그러면 두 식이 똑같은 항을 지니므로, 뺄셈이 그것을 통째로 없앤다.
x에 대한 이차식 인수분해하기
남는 것이 두 후보로 인수분해된다.
y가 사라지고 나면 남는 것은 평범한 이차방정식이고, 그 두 근이 공통점이 가질 수 있는 유일한 x값이다.
9.A-REI.B.4Convert To Algebray를 되찾고 후보를 모두 검증하기
한 후보는 한 점을, 다른 후보는 두 점을 준다.
후보로 좁히는 일은 "다른 것은 없다"만 증명한다. 두 방정식에 도로 넣어 보는 일이 "이것들은 진짜다"를 증명한다.
8.EE.A.2Eliminate Possibilities세 점이 만드는 삼각형
세 점이 삼각형을 만든다.
수직인 변을 밑변으로 고르면 밑변도 높이도 좌표의 단순한 뺄셈이 된다.
6.G.A.1Draw A Diagram삼각형의 넓이
그 넓이는 27, 보기 (B).
밑변이 수직이고 남은 꼭짓점이 옆으로 곧게 떨어져 있으면 넓이는 곱셈 한 번이다.
6.G.A.1Identify Subproblems교점은 두 방정식을 동시에 만족하는 해일 뿐이다. y²의 계수를 맞춰 뺄셈으로 y를 지우고, 남은 이차방정식을 풀고, 후보를 두 식에 도로 넣어 진짜임을 확인하면, 살아남은 세 점이 밑변 6·높이 9인 삼각형을 만든다.
- 꼭짓점은 두 방정식의 해
- 배로 늘린 뒤 빼서 y 지우기
- x에 대한 이차식 인수분해하기
- y를 되찾고 후보를 모두 검증하기
- 세 점이 만드는 삼각형
- 삼각형의 넓이