AMC 10 · 2012 · #17
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
이 그림 전체를 지배하는 것은 단 하나의 수, 즉 한 쌍의 변이 기울어진 정도다. 그러니 그것에 이름을 붙인다(도구 #4). 먼저 그림을 그리면(도구 #1) 주어진 네 점이 두 평행 무리로 갈린다. (3,0)과 (5,0)은 마주 보는 한 쌍의 변 위에 있고 x축에서 2만큼 벌어져 있으며, (7,0)과 (13,0)은 다른 한 쌍 위에 있고 6만큼 벌어져 있다. 두 무리가 수직이므로 같은 기울기가 두 간격을 동시에 지배하고, 두 간격은 모두 같은 변의 길이 s로 바뀐다. 미지수 하나짜리 방정식이 나온다(도구 #13). 그다음에는 네 꼭짓점을 쫓는 대신 중심을 직접 쫓는다(도구 #16). 중심은 마주 보는 두 변의 한가운데 직선 위에 있어야 하고, 그 두 직선은 각각 간격의 중점 (4,0)과 (10,0)을 지난다. 기울기 방정식의 해는 두 개이므로, 마지막에 제1사분면 조건으로 하나를 지우고 살아남은 정사각형을 실제로 써서 보인다(도구 #3).
네 점을 두 짝으로 가르기
네 점이 두 짝으로 나뉜다.
P, Q, R, S라는 글자가, 주어진 네 점 중 어느 둘이 서로 평행한 벽 위에 있는지를 조용히 알려 준다.
10.G-CO.A.1Draw A Diagram축에 나란한 경우 지우기
변이 축에 나란한 정사각형은 불가능하다.
한 쌍의 변이 축과 나란하면 나머지 한 쌍이 x축 하나를 두 번 써야 하는데, 어떤 정사각형도 그럴 수 없다.
10.G-CO.A.1Eliminate Possibilities간격을 변의 길이로 바꾸기
각 간격이 기울기를 통해 변을 준다.
x축을 따라 납작하게 잰 간격은, 기울기의 사인만큼 줄어들어 두 기울어진 직선 사이의 진짜 거리가 된다.
한 축을 따라 평평하게 잰 간격은 기울기의 사인을 곱해야 기운 두 직선 사이의 참된 거리가 된다.
▸ 왜?
평평한 간격은 직각삼각형의 빗변이고, 그 마주 보는 변이 수직 거리다.
▸ 왜?
평행선은 수직 간격이 어디서나 일정하므로, 한 번의 측정이 그 짝 전체를 대신한다.
기울기 구하기
그 둘을 맞추면 기울기가 구해진다.
수직인 두 평행 쌍은 언제나 직사각형을 만들어 주므로, "간격이 같다"는 것이 정사각형 조건의 전부다. 더 확인할 것이 없다.
9.A-REI.B.3Convert To Algebra꼭짓점 말고 중심을 쫓기
중심은 두 중심선 위에 있다.
x축 위 두 간격의 중점은 정사각형 자신의 중심선 위에 놓이므로, 중심은 그 두 중심선이 만나는 곳일 뿐이다.
10.G-GPE.B.4Change Focus Count The Complement두 중심선 만나게 하기
그 둘의 교점이 중심이다.
두 직선은 딱 한 번 만나므로, 작은 연립방정식 하나가 중심을 완전히 못 박는다.
8.EE.C.8Convert To Algebra거울 짝 지우고 확인하기
좌표의 합은 32/5, 보기 (D).
네 점에 꼭 맞는 거울상 정사각형이 둘 있다. 제1사분면 조건이 승부를 가르고, 꼭짓점을 실제로 적어 보이는 것이 승자의 존재 증명이다.
8.G.B.8Eliminate Possibilities네 직선이 도형을 못 박고 있을 때는 꼭짓점을 쫓지 말고, 두 간격이 같은 변의 길이로 줄어들게 만드는 단 하나의 기울기를 찾은 뒤 두 중심선을 만나게 하라.
- 네 점을 두 짝으로 가르기
- 축에 나란한 경우 지우기
- 간격을 변의 길이로 바꾸기
- 기울기 구하기
- 꼭짓점 말고 중심을 쫓기
- 두 중심선 만나게 하기
- 거울 짝 지우고 확인하기