AMC 10 · 2012 · #19

학년 8 geometry-3d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

spatial-visualizationcoordinate-geometrysymmetry-argumentpythagorean-theorem convert-to-algebraspatial-visualizationcoordinate-geometry ↑ 선수 지식: coordinate-geometrypythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

정팔면체가 정육면체 안에 놓여 여섯 선분마다 꼭짓점이 하나씩 있다. 모서리 길이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3\sqrt{2}}{4}$

(B)

$\frac{7\sqrt{6}}{16}$

(C)

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

(D)

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

(E)

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

P₁을 원점에 두고 정육면체를 좌표축에 올립니다(도구 #1, 도구 #4). 그러면 여섯 꼭짓점은 여섯 모서리 위의 여섯 개 미지 거리만으로 표현됩니다. 공간 감각(도구 #17)이 두 번 결정적인 일을 합니다. 먼저 정팔면체에서 어느 꼭짓점끼리 마주 보는지를 정합니다 — P₁ 쪽 세 점은 서로 이웃일 수밖에 없으므로, 각각 P₁' 쪽 세 점 중 하나와 짝을 이룹니다. 그러면 P₁ 쪽 세 점이 정삼각형을 이루게 되어 여섯 미지수가 하나의 a 로 줄어듭니다(도구 #13). 그다음 교차 모서리 하나의 거리에서 식 하나를 얻는데, 제곱항이 상쇄되어 일차식이 됩니다(도구 #4 재사용). 마지막으로 도구 #17로 돌아와 결과를 검증합니다: 배치의 두 가지 대칭이 식 하나만으로 열두 모서리가 모두 같아짐을 보여 주고, 세 대각선 판정이 이 입체가 진짜 정팔면체임을 확인해 줍니다. 정확한 값을 선택지와 맞추는 것(도구 #3)도 필요합니다 — 두 선택지가 1% 이내로 붙어 있기 때문입니다.

1STEP 1

정육면체를 좌표축에 올리기

좌표가 여섯 꼭짓점을 모두 배치한다.

A=(a,0,0), B=(0,b,0), C=(0,0,c); A'=(1-p,1,1), B'=(1,1-q,1), C'=(1,1,1-r)

2STEP 2

어느 꼭짓점끼리 마주 보는지 가려내기

두 삼중쌍이 마주 보는 모서리에 있다.

A,B,C: x+y+z ≤ 1 A',B',C': x+y+z ≥ 2

3STEP 3

정삼각형이 여섯 미지수를 하나로 줄인다

정삼각형이 여섯 미지수를 하나로 줄인다.

a=b=c=p=q=r, s = a√(2)

4STEP 4

교차 모서리 하나 재기

교차 모서리 하나를 직접 잰다.

AB'² = (1-a)² + (1-a)² + 1² = 2(1-a)² + 1

5STEP 5

제곱이 상쇄된다 — a 를 구하기

방정식에서 제곱 항이 상쇄된다.

2(1-a)² + 1 = 2a² → 2a² - 4a + 3 = 2a² → 4a = 3 → a = 3/4

6STEP 6

식 하나가 열두 모서리를 결정한다

식 하나가 열두 모서리를 모두 정한다.

(x,y,z)↦(z,x,y)와 (x,y,z)↦(1,1,1)-(x,y,z)는 여섯 점을 보존한다

7STEP 7

정팔면체임을 확인하고 답 읽기

모서리는 3√2/4, 보기 (A).

s = a√(2) = 3/4√(2) = 3√(2)/4 → (A)

정답

3√(2)/4

크기 검증이 통과합니다: 모서리 3√2/4 ≈ 1.061은 정육면체 면 대각선 √2 ≈ 1.414 보다 짧고, 정팔면체의 가장 긴 대각선 s√2 = 3/2 = 1.5는 정육면체 공간 대각선 √3 ≈ 1.732 보다 짧으므로 입체가 안에 들어갑니다. 정팔면체의 중심이 정육면체의 중심과 일치한 것도 기대할 만한 대칭입니다. 이 문제는 어림만으로는 끝낼 수 없습니다: (A) ≈ 1.061과 (B) 7√6/16 ≈ 1.072는 약 1% 차이라 정확한 값이 둘을 가릅니다. (C) ≈ 1.118, (D) ≈ 1.155, (E) ≈ 1.225는 더 멀리 떨어져 있습니다. 빠른 논증이 어디서 어긋날 수 있는지도 짚어 둘 만합니다: 거리 하나만 맞추는 것은 필요 조건일 뿐이고, 6 단계의 대칭 확인과 7 단계의 수직 대각선 판정이 답을 충분하게 만듭니다 — 그것들이 그런 정팔면체가 존재한다는 사실을 가정이 아니라 증명으로 바꿔 줍니다.

💡핵심 정리

대칭적인 상자 안에 도형이 꼭 끼워져 있으면, 먼저 대칭이 미지수를 정하게 두세요 — 여기서는 여섯 꼭짓점 모두가 자기 꼭짓점에서 3/4 만큼 떨어지도록 강제되어, 어려운 식 여섯 개 대신 쉬운 식 하나만 남았습니다.

정육면체를 좌표축에 올리기
어느 꼭짓점끼리 마주 보는지 가려내기
정삼각형이 여섯 미지수를 하나로 줄인다
교차 모서리 하나 재기
제곱이 상쇄된다 — a 를 구하기
식 하나가 열두 모서리를 결정한다
정팔면체임을 확인하고 답 읽기