AMC 10 · 2012 · #20
학년 9 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
"가능한 모든 넓이"라는 표현이 이 문제를 완전성 문제로 만든다. 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 뼈대다. 목록에는 모든 사다리꼴이 들어가야 하고 중복은 없어야 한다. 넓이를 계산하기 전에 두 가지를 먼저 확정해야 한다. 첫째는 경우의 수다. 순진하게 세면 4!=24가지 배열이지만, 도구 #2와 거울 대칭 관찰을 합치면 어느 쌍이 평행한가를 고르는 C(4, 2)=6가지로 줄어든다. 둘째는 문제의 승부가 실제로 갈리는 지점, 즉 선택한 배치가 도형으로 존재하는지 판정하는 기준이다. 도구 #4(변수 도입하기)와 #13(대수로 바꾸기)으로 좌표를 잡고 높이를 구한 뒤, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 "이 사다리꼴이 존재하는가?"를 훨씬 쉬운 "이 세 길이가 삼각형을 이루는가?"로 바꾼다. 이것을 필요충분조건으로 세우는 것이 핵심이다. 그래야 경우를 배제하는 동시에 살아남은 경우의 존재까지 보장된다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 여섯 후보를 산술만으로 걸러내고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 세 높이와 넓이를 구하며, 도구 #15(다르게 정리하기)로 합을 요구된 r₁√(n₁)+r₂√(n₂)+r₃ 꼴에 맞추고 그 표현이 강제됨을 확인해 구하는 값이 잘 정의됨을 보인다.
평행한 쌍만이 중요하다
배치를 가르는 것은 평행한 쌍뿐이다.
두 빗변을 맞바꾸면 그림이 좌우로 뒤집힐 뿐이고, 거울상은 넓이가 같다.
8.G.A.2Make A Systematic List사다리꼴을 좌표 위에 올리기
좌표가 도형을 두 미지수로 바꾼다.
평행한 두 변을 수평선 위에 올리면 각 빗변은 빗변이 되고 높이는 두 직각삼각형이 공유하는 수직변이 된다.
8.G.B.7Introduce A Variable치우침과 높이를 구하기
풀면 치우침과 높이가 나온다.
두 피타고라스 식의 차는 치우침에 대해 일차식이라, 두 치우침이 한 번에 튀어나온다.
8.EE.C.8Convert To Algebra삼각형이 존재할 때에만 존재한다
존재 여부가 삼각부등식으로 줄어든다.
두 다리는 튀어나온 길이 c-a를 건널 만큼 길어야 하지만 한쪽이 나머지 둘을 합친 것보다 길어서도 안 된다 — 세 길이가 삼각형으로 닫히는 바로 그 균형이다.
사다리꼴이 존재하는 것은 두 기운 변과 튀어나온 부분이 삼각형을 이룰 수 있을 때뿐이다.
▸ 왜?
그 길이 가운데 어느 둘의 합도 나머지보다 길어야 하며, 그렇지 않으면 끝이 만나지 못한다.
▸ 왜?
각 기운 변은 공통 높이 위의 빗변이므로, 그 닿음이 가능할 때에만 높이가 존재한다.
여섯 후보를 걸러내기
여섯 배치 중 셋만 살아남는다.
튀어나온 길이가 짧으면 두 다리가 거의 같아야 하므로, 3,5나 5,7처럼 가까운 길이 쌍은 여기서 평행한 변이 될 수 없다.
7.G.A.2Eliminate Possibilities세 넓이 계산하기
각 생존자가 깔끔한 넓이를 준다.
높이에 두 평행변의 평균을 곱한 것이 넓이이고, 좌표 공식이 그 높이를 곧바로 준다.
7.G.B.6Identify Subproblems꼴에 맞추고 바닥값 취하기
꼴에 맞추고 내림하면 63이다.
두 무리수 조각은 서로 합쳐지지도, 유리수 조각 안에 숨지도 못하므로 합을 쓰는 방식이 사실상 하나로 정해진다.
8.NS.A.1Organize Information In More Ways어느 두 변을 평행하게 둘지만이 문제가 되고, 그런 사다리꼴은 두 다리와 튀어나온 길이 c-a가 삼각형을 이룰 때에만 존재한다 — 여섯 중 셋이 통과하고 그 넓이의 합은 35√3/2+32√5/3+27이다.
- 평행한 쌍만이 중요하다
- 사다리꼴을 좌표 위에 올리기
- 치우침과 높이를 구하기
- 삼각형이 존재할 때에만 존재한다
- 여섯 후보를 걸러내기
- 세 넓이 계산하기
- 꼴에 맞추고 바닥값 취하기
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