AMC 10 · 2012 · #21

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometryrotation-isometryangle-sum-polygonpythagorean-theorem convert-to-algebracoordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryrotation-isometry

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

변의 길이가 다른 등각 육각형이 한 꼭짓점을 공유하는 정사각형을 품는다. 정사각형의 변을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$29\sqrt{3}$

(B)

$\frac{21}{2}\sqrt{2}+\frac{41}{2}\sqrt{3}$

(C)

$\ 20\sqrt{3}+16$

(D)

$20\sqrt{2}+13 \sqrt{3}$

(E)

$21\sqrt{6}$

풀이 과정

전략 그림 그리기

모르는 변이 네 개인데 정사각형까지 모른다면 가망이 없어 보인다. 정사각형이 어떤 직선들에 닿는지를 보기 전까지는 그렇다. 등각이라는 말은 여섯 변의 방향이 0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°라는 뜻이므로 직선 BC와 직선 EF가 평행하고, 직선 AB와 직선 DE가 평행하다. 정사각형의 대각선 XZ는 첫 번째 평행 쌍 사이에 걸쳐 있고 대각선 AY는 두 번째 쌍 사이에 걸쳐 있다. 각각이 식 하나씩이다. 좌표를 쓰면 둘 다 일차식이 되고, X를 Z로 옮기는 90° 회전이 Y와 Z를 단 하나의 수 BX로 표현해 준다. 각을 쫓는 방법 대신 좌표를 택하는 이유는 마지막 단계에 있다. 널리 알려진 풀이는 육각형의 모양을 편한 대로 가정하고 시작하는데, 좌표를 쓰면 답이 그 모양에 의존하지 않는다는 사실을 가정하지 않고 증명할 수 있다.

1STEP 1

등각을 여섯 방향으로 바꾸기

각이 같아 여섯 방향이 정해진다.

k 번째 변의 방향은 60°(k-1): AB ∥ DE, BC ∥ EF, CD ∥ FA

2STEP 2

같은 높이를 두 방향으로 재기

같은 높이를 두 번 재면 관계식이 나온다.

h = √(3)/2(BC + CD) = √(3)/2(AF + EF) ⟹ BC + CD = AF + EF

3STEP 3

살아 있는 미지수 두 개 정하기

살아 있는 미지수는 둘뿐이다.

X = (40 + t/2, √(3)/2t), F = (-f/2, √(3)/2f)

4STEP 4

X를 회전시켜 Z와 Y 얻기

사분의 일 회전이 다른 꼭짓점을 만든다.

Z = (-√(3)/2t, 40 + t/2), Y = X + Z = (40 + t/2 - √(3)/2t, 40 + t/2 + √(3)/2t)

5STEP 5

Z를 직선 EF 위에 놓기

한 꼭짓점을 변 위에 놓으면 식이 나온다.

√(3) f = 40 + 2t

6STEP 6

Y를 직선 DE 위에 놓고 풀기

둘째 꼭짓점이 연립을 닫는다.

(√(3)-1)t = 83 - 41√(3) ⟹ t = (83 - 41√(3))(√(3)+1)/2 = (42√(3) - 40)/2 = 21√(3) - 20, f = 42

7STEP 7

A에서 수선 내리기

수선이 변 29√3을 준다.

AX² = AP² + PX² = (20√(3))² + (21√(3))² = 3(20² + 21²) = 3 · 29²

8STEP 8

모양이 상관없음을 보이기

남은 자유도는 아무것도 바꾸지 않는다, 보기 (D).

b ∈ [41(√(3)-1), 41√(3)+1) ⟹ AF = 42, BX = 21√(3)-20, 그리고 모든 b 에 대해 s = 29√(3)

정답

29√(3)

이 문제는 크기만으로는 결정되지 않는다. 어림에 기대기 전에 이 점을 먼저 알아야 한다. 다섯 보기는 29√(3) ≈ 50.23, 21/2√(2) + 41/2√(3) ≈ 50.36, 20√(3) + 16 ≈ 50.64, 20√(2) + 13√(3) ≈ 50.80, 21√(6) ≈ 51.44로 모두 2.5% 폭 안에 몰려 있다. 정확한 근호 계산이 곧 문제 전부다. 답은 서로 독립된 여러 검사를 통과한다. 첫째, s = AX는 삼각형 ABX에서 120° 각의 대변이므로 AB = 40보다 커야 하는데 50.23은 그렇다. 둘째, 풀이가 강제한 값들이 모두 있어야 할 곳에 있다. AF = 42 ＞ 0, BX = 21√(3) - 20 ≈ 16.37 ＞ 0, 그리고 FZ = 20√(3) - 21 ≈ 13.64는 0과 EF ≈ 30.01 사이에 엄밀히 들어간다. 셋째, 계산에서 전혀 가정하지 않았던 구조적 검사가 있다. EZ = EF - FZ = 41√(3) - 41 - 20√(3) + 21 = 21√(3) - 20 = BX이다. 이 등식은 미리 예측할 수 있다. 정사각형의 중심에 대한 180° 회전은 A ⇔ Y와 X ⇔ Z를 맞바꾸고, 직선 AB를 Y를 지나는 평행선인 직선 DE로, 직선 BX를 Z를 지나는 평행선인 직선 EF로 옮긴다. 따라서 B는 그 두 직선의 교점, 즉 E로 가야 하고 YE = AB = 40, EZ = BX가 강제된다. 계산 결과가 이와 일치하므로, 그림에 대한 서로 다른 두 설명이 서로 모순되지 않는다.

💡핵심 정리

각이 모두 같으면 변의 방향이 모두 정해지므로 직선 BC ∥ 직선 EF, 직선 AB ∥ 직선 DE이다. 정사각형을 이 두 평행 쌍 사이에 끼워 넣으면 AF = 42와 BX = 21√(3) - 20이 강제되고, A에서 수선 하나만 내리면 나머지는 √(3)배 된 (20, 21, 29) 세 쌍이 된다.

등각을 여섯 방향으로 바꾸기
같은 높이를 두 방향으로 재기
살아 있는 미지수 두 개 정하기
X를 회전시켜 Z와 Y 얻기
Z를 직선 EF 위에 놓기
Y를 직선 DE 위에 놓고 풀기
A에서 수선 내리기
모양이 상관없음을 보이기