AMC 10 · 2013 · #1
학년 6 geometry-2d area-triangleslinear-equations-one-varformula-substitution convert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-triangles
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트 📊 도형
문제
정사각형 한 변 위의 점이 두 꼭짓점과 함께 넓이를 아는 삼각형을 만든다. 가까운 꼭짓점까지의 거리를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
4
(B)
5
(C)
6
(D)
7
(E)
8
풀이 과정
전략 그림 그리기
이 문제는 그림을 제대로 읽는 데서 모든 것이 갈리므로 도구 #1 (그림 그리기)이 핵심이다. 정사각형의 꼭짓점 B 는 직각이고, E 가 BC 위에 있으므로 삼각형 ABE 는 두 변 AB 와 BE 가 직각을 이루는 직각삼각형이다. 이 두 수직인 변이 그림에서 보이면, 도구 #4 (변수 도입하기)로 마무리한다: BE 를 미지수로 두고 직각삼각형의 넓이를 1/2 · AB · BE 로 써서 40과 같다고 놓은 뒤, 한 단계짜리 방정식을 푼다.
1STEP 1
그림 읽기: B 에서 생기는 직각삼각형
모서리가 직각을 공짜로 준다.
정사각형의 꼭짓점은 직각이므로, 거기서 만나는 두 변이 곧 삼각형의 수직인 두 직각변이 된다.
6.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
BE 를 밑변으로 삼아 넓이 세우기
모르는 선분이 밑변이 된다.
넓이 = 1/2 · BE · AB = 1/2 · BE · 10 = 5 BE = 40
직각삼각형에서는 한 직각변이 밑변, 다른 직각변이 높이이므로 넓이는 두 변을 곱한 값의 절반이다.
6.G.A.1Introduce A Variable3STEP 3
BE 구하기
풀면 8, 보기 (E).
5 BE = 40 → BE = 40/5 = 8 → (E)
5를 곱한 것을 되돌리려면 양변을 5로 나누면 된다.
5를 곱한 것을 되돌리려면 양변을 5로 나눈다.
▸ 왜?
나눗셈이 곱셈을 정확히 되돌리므로, 미지수에 붙은 계수가 벗겨진다.
역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
▸ 왜?
양변에 같은 일을 해도 등식은 참으로 남으므로, 그렇게 해도 된다.
양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
정답
8
결과를 그림과 맞춰 확인한다. BE = 8이면 삼각형의 두 직각변은 8과 10이고 넓이는 1/2 · 8 · 10 = 40으로 문제와 정확히 일치한다. 또 8은 한 변의 길이 10 보다 작으므로 E 가 꼭짓점 C 를 넘지 않고 BC 위에 제대로 남는다. 정사각형 전체의 넓이는 100이고, 삼각형의 40은 그 일부로 자연스러우며 전체보다 크지 않다.
💡핵심 정리
정사각형의 꼭짓점에서는 두 변이 수직이라 삼각형이 직각삼각형이 된다. 넓이는 한 직각변과 다른 직각변을 곱한 값의 절반이고, 그것을 40과 같다고 놓으면 BE = 8이 나온다.
- 그림 읽기: B 에서 생기는 직각삼각형
- BE 를 밑변으로 삼아 넓이 세우기
- BE 구하기