AMC 10 · 2015 · #12
학년 9 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
그림이 확정되기 전에는 아무것도 계산할 수 없으므로, 계획은 넓이가 아니라 개수 세기에서 시작한다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 곡선이 축과 닿을 수 있는 모든 점을 a와 b의 부호에 따라 적는다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 "정확히 네 점"이라는 조건을 써서 하나만 남기고 모든 배치를 지운다 — 이 문제가 실제로 걸려 있는 단계이며, "당연히"라는 말 대신 증명이 필요하다. 대충 읽으면 a+b가 하나의 값으로 정해지지 않는 배치가 살아남기 때문이다. 도구 #1(그림 그리기)로 살아남은 네 점을 찍어 보면 연이라는 조건은 저절로 성립함이 드러나고, 결국 문제가 주는 양적 정보는 넓이뿐임을 알 수 있다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 외운 대각선 공식을 인용하는 대신 연을 두 삼각형으로 잘라 넓이를 얻고, 도구 #11(거꾸로 풀기)은 그 절편을 두 식에 되돌려 넣어 a와 b를 복원한다.
축과 만나는 점 모두 나열하기
각 곡선이 두 축과 만난다.
축과 만나는 점은 모두 "x=0 넣기" 아니면 "y=0 넣기"이므로, 완전한 목록은 네 줄로 끝난다.
9.F-IF.B.4Make A Systematic List개수 조건이 x절편 공유를 강제한다
넷뿐이려면 한 쌍을 공유해야 한다.
네 점 중 두 개는 시작 전에 이미 y축이 가져가므로 x축 몫은 두 개뿐이고, 한 포물선이 x축을 비켜 가는 갈래는 그 계수를 자유롭게 남겨 두므로 의도된 배치일 수 없다.
9.A-REI.B.4Eliminate Possibilities점을 찍고 연인지 확인하기
찍어 보면 그 모양이 정말 연이다.
y축이 그림 전체의 거울이고, 마주 보는 두 꼭짓점을 지나는 거울선을 가진 사각형이 바로 연이다.
세로축이 그림 전체의 거울이며, 그런 거울을 지닌 사각형은 연이다.
▸ 왜?
그 축에 대해 비추면 아무것도 늘어나지 않고 도형이 자기 위로 옮겨진다.
▸ 왜?
거울선은 비추는 선분과 직각으로 만나고 그것을 정확히 반으로 자른다.
연을 두 삼각형으로 자르기
그것이 쉬운 삼각형 둘로 잘린다.
대각선을 따라 자르면 낯선 사각형이, 밑변과 높이를 축에서 바로 읽을 수 있는 삼각형 두 개로 바뀐다.
6.G.A.1Identify Subproblems넓이로 폭 구하기
넓이가 공유하는 교점을 2로 정한다.
연의 높이는 6으로 고정되어 있으므로 넓이는 폭의 상수배일 뿐 — 폭이 두 배면 넓이도 두 배다.
9.A-CED.A.1Work Backwardsa와 b 읽어내기
두 계수를 읽으면 3/2, 보기 (B).
곡선 위의 한 점을 알고 나면 식에 남는 것은 미지 계수 하나뿐이다.
9.A-REI.B.3Work Backwards계산에 들어가기 전에 "정확히"라는 말로 그림부터 확정하라 — 여기서는 그 말이 두 포물선을 같은 두 x절편에 묶어 놓고, 그다음부터 연은 밑변을 공유한 삼각형 두 개일 뿐이다.
- 축과 만나는 점 모두 나열하기
- 개수 조건이 x절편 공유를 강제한다
- 점을 찍고 연인지 확인하기
- 연을 두 삼각형으로 자르기
- 넓이로 폭 구하기
- a와 b 읽어내기