AMC 10 · 2013 · #8

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

coordinate-geometryarea-trianglessystems-of-equationsslope-intercept convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

아는 점들을 지나는 세 직선이 넓이가 정해진 삼각형을 만든다. 세 번째 직선의 기울기를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}{3}$

(B)

$\frac{3}{4}$

(C)

(D)

$\frac{4}{3}$

(E)

$\frac{3}{2}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

움직일 수 있는 것은 C뿐이고, C는 수평선 y = 1을 따라 미끄러진다. 그 x좌표에 이름을 붙이자. 그러면 밑변 BC는 수평이고 A에서의 높이는 하나의 값으로 고정되므로, 넓이 조건이 문자 하나짜리 방정식 하나가 된다. 그 방정식의 해는 둘이므로, 마지막 할 일은 기울기가 양수라는 조건이 어느 쪽을 허용하는지 정직하게 가려내고, 살아남은 쪽이 정말로 넓이 3을 만드는지 확인하는 것이다.

1STEP 1

대입해서 B 찾기

대입이 첫 교점을 찾아 준다.

3x - 2(1) = 1 ⟹ x = 1 ⟹ B = (1,1)

2STEP 2

수평인 변을 밑변으로 삼기

수평인 변이 깔끔한 밑변이 된다.

h = |1 - (-2)| = 3, [ABC] = 1/2 · BC · 3

3STEP 3

C의 위치 구하기

넓이가 후보 위치 둘을 준다.

1/2 |c-1| · 3 = 3 ⟹ |c-1| = 2 ⟹ c = 3 또는 c = -1

4STEP 4

수직이 되는 후보 지우기

하나는 직선을 수직으로 만든다.

c = -1 ⟹ x_C = x_A = -1 ⟹ 직선 x = -1, 기울기 정의 안 됨

5STEP 5

기울기를 구하고 확인하기

다른 하나가 기울기 3/4을 준다, 보기 (C).

m = (1 - (-2))/(3 - (-1)) = 3/4 ＞ 0, [ABC] = 1/2 · 2 · 3 = 3

정답

3/4

세 점을 찍어 보자. A = (-1,-2), B = (1,1), C = (3,1)이다. 위쪽 변은 y = 1을 따라 x = 1부터 x = 3까지이므로 길이가 2이고, A는 그 직선보다 3만큼 아래에 있으므로 넓이는 1/2 · 2 · 3 = 3으로 요구와 맞는다. 기울기 3/4은 양수이고 보기 (B)다. 가파르기로도 확인된다. l₁의 기울기는 3/2이라 A에서 y = 1까지 가로로 2만 가면 되지만, l₃는 더 완만하므로 더 긴 가로 거리가 필요하고 실제로 가로로 4를 가서 x = 3, 즉 B의 오른쪽에 도착한다. 보기가 모두 양수이므로 보기만 보고 줄이는 지름길은 없고, 이는 경우 나누기를 실제로 해야만 했다는 신호다.

💡핵심 정리

삼각형의 한 변이 수평선 위에 놓여 있으면 그 변을 밑변으로 삼아라. 높이가 더 이상 변하지 않으므로, 넓이가 밑변의 길이를 정확히 알려 준다.

대입해서 B 찾기
수평인 변을 밑변으로 삼기
C의 위치 구하기
수직이 되는 후보 지우기
기울기를 구하고 확인하기

대입해서 B 찾기

수평인 변을 밑변으로 삼기

C의 위치 구하기

수직이 되는 후보 지우기

기울기를 구하고 확인하기

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