AMC 10 · 2013 · #11

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

equilateral-triangleperimetersystems-of-equations convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: equilateral-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

평행한 두 자름선이 정삼각형을 둘레가 같은 세 조각으로 나눈다. 두 자름선의 길이 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\dfrac{3}{2}$

(C)

$\dfrac{21}{13}$

(D)

$\dfrac{13}{8}$

(E)

$\dfrac{5}{3}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

그림 전체는 두 수로 정해진다. 첫 번째 자름선이 변을 따라 얼마나 내려와 있는지, 두 번째가 얼마나 내려와 있는지다. 이 두 길이에 이름을 붙이면 모든 조각의 모든 변이 그 두 문자로 된 짧은 식이 되고, '세 둘레가 모두 같다'는 조건은 미지수 두 개짜리 일차 연립방정식이 된다. 한 가지 조심할 점이 있다. 방정식을 푸는 것은 그런 그림이 존재한다면 두 길이가 무엇이어야 하는지만 말해줄 뿐, 그런 그림이 실제로 있다는 것을 보여주지는 않는다. 그래서 마지막에 구한 값을 그림에 되돌려 넣어, 자름선의 순서가 조건대로인지와 세 둘레가 정말 같아지는지를 확인한다.

1STEP 1

각 자름선은 작은 정삼각형을 만든다

각 자름선이 더 작은 정삼각형을 만든다.

∠ ADE = ∠ ABC = 60°, ∠ AED = ∠ ACB = 60° → DE = AD = AE

2STEP 2

두 자름선의 깊이에 이름 붙이기

문자 둘이 모든 것을 설명한다.

a = AD = AE = DE, b = AF = AG = FG, DE + FG = a + b

3STEP 3

세 조각의 둘레 쓰기

세 둘레가 깔끔하게 쓰인다.

P_ADE = 3a, P_DFGE = a + b + 2(b-a) = 3b - a, P_FBCG = b + 1 + 2(1-b) = 3 - b

4STEP 4

'모두 같다'를 두 방정식으로 바꾸기

둘레가 같다는 것이 두 방정식을 준다.

4a = 3b, b = 3 - 3a → 4a = 9 - 9a → a = 9/13, b = 12/13

5STEP 5

그림이 실제로 존재하는지 확인하기

그 그림이 실제로 존재한다.

0 ＜ 9/13 ＜ 12/13 ＜ 1, 3a = 3b - a = 3 - b = 27/13

6STEP 6

두 자름선을 더하고, 다른 방식으로 다시 세기

자름선의 합은 21/13, 보기 (C).

3·27/13 = 3 + 2(DE+FG) → 2(DE+FG) = 81/13 - 3 = 42/13 → DE + FG = 21/13

정답

21/13

두 자름선의 길이는 9/13과 12/13으로 나왔다. 둘 다 0과 1 사이에 있고 그림이 요구하는 순서를 지키며, 세 조각이 둘레 27/13을 함께 가진다. 그래서 문제가 말하는 배치는 실제로 존재하고 유일하다. 크기도 그럴듯하다. 두 자름선 모두 BC = 1보다 짧으므로 DE + FG ＜ 2인데, 21/13 ≈ 1.615는 그 범위 안에 있으면서 1보다는 크다. 다섯 보기가 1, 1.5, 약 1.615, 1.625, 약 1.667로 촘촘히 몰려 있어 대략의 소수로는 구분되지 않는다. 결국 정확한 계산이 판가름하며, 13a = 9에서 생긴 분모 13은 한 보기에서만 나타난다.

💡핵심 정리

밑변에 평행한 자름선은 같은 삼각형의 축소판을 잘라내므로, 각 자름선이 얼마나 내려와 있는지에 이름을 붙이면 '둘레가 같다'는 조건이 쉬운 방정식 두 개가 된다.

각 자름선은 작은 정삼각형을 만든다
두 자름선의 깊이에 이름 붙이기
세 조각의 둘레 쓰기
'모두 같다'를 두 방정식으로 바꾸기
그림이 실제로 존재하는지 확인하기
두 자름선을 더하고, 다른 방식으로 다시 세기