AMC 10 · 2013 · #12
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
"각이 등차수열을 이룬다"는 말은 세 수에 대한 조건처럼 보이지만, 180°라는 각의 합과 합쳐지면 사실 하나로 줄어든다. 한 각이 60°라는 것이다. 이 줄임은 양방향 모두 성립해야 한다. 앞으로 60°인 각을 가진 삼각형을 찾은 뒤 그것이 조건을 만족한다고 말할 참이기 때문이다. 조건이 "60°인 각이 하나 있다"로 바뀌면 남는 자유는 그 각이 어느 변과 마주 보는가뿐이다. 그러면 문제는 변마다 하나씩, 코사인법칙을 쓰는 세 개의 작은 문제로 갈라지고 각각은 짧은 계산이다.
각의 합이 60도를 강제한다
각의 합이 60도 각을 강제한다.
일정한 간격으로 놓인 세 수에서 가운데 값은 평균이고, 삼각형 세 각의 평균은 언제나 60°이다.
고르게 늘어선 세 항에서 가운데는 평균이며, 삼각형 세 각의 평균은 언제나 60도다.
▸ 왜?
같은 간격으로 놓인 항은 가운데를 중심으로 균형을 이루므로, 가운데가 정확히 평균이다.
▸ 왜?
세 각의 합은 언제나 평각이므로, 다른 무엇을 알기도 전에 평균이 정해진다.
반대 방향도 확인하기
간격이 얼마든 여전히 고른 수열이다.
한 각이 60°이면 나머지 두 각은 저절로 60°를 사이에 두고 균형을 이루므로 간격은 공짜로 일정해진다.
10.G-CO.C.10Convert To Algebra60도가 마주 보는 변으로 나누기
어느 변이 마주 보는지로 경우가 셋이 된다.
아는 각이 어느 변과 마주 보는지 정하는 것이 남은 유일한 선택이고, 시험해 볼 변은 셋뿐이다.
11.G-SRT.D.11Identify Subproblems경우 1: 60도가 x와 마주 본다
첫 경우가 근 하나를 준다.
두 변과 그 사이 각을 모두 알면 남는 자유가 없으므로 세 번째 변은 하나로 정해진다.
11.G-SRT.D.11Convert To Algebra경우 2: 60도가 변 5와 마주 본다
둘째는 이차식을 준다.
4와 x 사이의 각을 고정해도 x는 여전히 자유롭기에, 조건이 수 하나가 아니라 이차방정식으로 나타난다.
9.A-REI.B.4Convert To Algebra경우 3: 60도가 변 4와 마주 보면 불가능
셋째는 실수해가 전혀 없다.
판별식이 음수라는 것은 그 그림 자체를 그릴 수 없다는 대수의 알림이다.
9.A-REI.B.4Eliminate Possibilities살아남은 두 값이 진짜 삼각형인지 확인
살아남은 둘 다 진짜 삼각형이다.
각을 그리고 두 길이를 표시한 뒤 끝을 이으면 삼각형은 언제나 생기므로, 양의 근은 자동으로 실제 도형이 된다.
10.G-SRT.B.5Draw A Diagram더해서 요구된 꼴에 맞추기
꼴에 맞추면 36, 보기 (D).
합이 이미 요구된 모양으로 놓여 있으므로 세 정수는 그대로 읽어 내면 된다.
11.N-RN.A.2Introduce A Variable삼각형에서 "각이 고르게 벌어져 있다"는 말은 "한 각이 60°이다"와 정확히 같은 뜻이고, 그다음 남는 질문은 그 각이 어느 변과 마주 보느냐뿐이다.
- 각의 합이 60도를 강제한다
- 반대 방향도 확인하기
- 60도가 마주 보는 변으로 나누기
- 경우 1: 60도가 x와 마주 본다
- 경우 2: 60도가 변 5와 마주 본다
- 경우 3: 60도가 변 4와 마주 보면 불가능
- 살아남은 두 값이 진짜 삼각형인지 확인
- 더해서 요구된 꼴에 맞추기
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