AMC 10 · 2013 · #13

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
coordinate-geometryarea-triangleslinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
한 꼭짓점을 지나는 직선이 사각형을 넓이가 같은 둘로 나눈다. 교점을 나타내는 분수 성분의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
54
(B)
58
(C)
62
(D)
70
(E)
75
풀이 과정
전략 변수 도입하기

문제의 핵심은 CD 위의 미지의 교점이므로 도구 #4(변수 도입하기)가 주 도구다. 그 점을 E=(x,y)라 두고 "넓이가 같다"를 그 점에 대한 방정식으로 바꾼다. 도구 #1(그림 그리기)로 먼저 A에서 CD 위의 점으로 그은 직선이 삼각형 AED를 잘라낸다는 것을 본다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 전체 넓이를 구하는 일과 그 절반을 맞추는 일 두 가지로 나눈다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 변 CD를 직선의 식으로 써서, 높이를 알고 나면 점의 x좌표를 구한다.

1STEP 1

점과 자르는 선 그리기

한 변이 축 위에 놓인다.

A=(0,0), D=(4,0)→ AD는 x축 위, AD=4
2STEP 2

전체 넓이 구하기

전체 넓이는 15/2다.

[ABCD]=1/2 |{-15}|=15/2 → 절반=15/4
3STEP 3

삼각형 넓이를 절반으로 놓기

그 절반이 교점의 높이를 정한다.

[AED]=1/2·4 · y=2y=15/4 → y=15/8
4STEP 4

변 CD 위의 점 찾기

변의 직선이 나머지 좌표를 준다.

y=-3x+12, 15/8=-3x+12 → x=27/8
5STEP 5

기약분수 성분 더하기

성분을 더하면 58, 보기 (B).

p+q+r+s=27+8+15+8=58 → (B)
정답
58
높이가 가능한지 확인한다. 변 CD는 C에서 y=3이었다가 D에서 y=0으로 내려가고, 15/8=1.875는 그 사이에 있으므로 E는 정말 선분 위에 있다(x=27/8=3.375도 3과 4 사이다). 넓이가 같은지도 확인한다. 삼각형 AED의 넓이는 2·15/8=15/4로 15/2의 정확히 절반이므로 나머지 조각도 그 절반이다. 성분의 합은 58, 곧 (B)이며, 다른 선택지들은 이 점의 어떤 기약형에서도 나오지 않는다.
💡핵심 정리

AD가 x축 위에 평평히 놓이므로 자른 삼각형 넓이는 높이의 2배일 뿐이니, 그것을 전체의 절반과 같게 놓고 CD의 직선을 따라가 정확한 점을 찾는다.

  • 점과 자르는 선 그리기
  • 전체 넓이 구하기
  • 삼각형 넓이를 절반으로 놓기
  • 변 CD 위의 점 찾기
  • 기약분수 성분 더하기

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