AMC 10 · 2013 · #15

학년 7 counting
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type
fundamental-counting-principlecaseworkexponents identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: fundamental-counting-principle
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
두 무리를 여러 곳에 보내는데 어느 곳도 양쪽을 함께 둘 수 없다. 가짓수를 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
96
(B)
108
(C)
156
(D)
204
(E)
372
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

먼저 도구 #16(관점 바꾸기)을 쓴다. 금지 조건이 가게별로 네 개의 조건처럼 쓰여 있지만, 그것이 어미들의 가게에 대한 하나의 문장으로 합쳐지는 순간 문제가 열리기 때문이다. 이 재해석은 새끼의 선택지가 오직 한 가지 수, 즉 어미들이 차지한 서로 다른 가게의 개수에만 달려 있음을 보여 준다. 그 개수는 1 아니면 2뿐이므로, 겹치지 않으면서 빠짐도 없는 경우 나누기가 나온다. 이 두 성질이 있어야 경우별 개수를 그냥 더할 수 있으므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 주 도구다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로는 토끼를 정해진 순서대로 훑으며 각 경우를 세어, 같은 배정을 두 번 만들지 않게 한다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 마지막 점검용으로 남겨 두어, 같은 개수를 어미 쪽이 아니라 새끼 쪽에서 다시 세운다.

1STEP 1

네 개의 금지를 하나의 규칙으로

금지 조건이 하나의 서로소 규칙으로 줄어든다.

적법⇔ P∩ C=∅⇔모든 새끼가 어미 있는 가게를 피함
2STEP 2

어미가 채운 가게 수로 나누기

일어날 수 있는 경우는 둘뿐이다.

|P|∈{1,2}, #{새끼를 배치하는 방법}=(4-|P|)³
3STEP 3

경우 1: 어미가 한 가게에

첫 무리가 한 곳이면 108이다.

4 · 3³=4 · 27=108
4STEP 4

경우 2: 어미가 두 가게에

두 곳이면 96이다.

4·3·2³=12·8=96
5STEP 5

두 경우 더하기

더하면 204, 보기 (D).

108+96=204 → (D)
정답
204
먼저 크기를 확인한다. 아무 조건이 없으면 배정은 4⁵=1024가지이므로 204는 그중 약 5분의 1이고, 네 가게 중 한두 곳을 새끼 셋에게 닫아 버리는 조건치고는 타당한 비율이다. 선택지에는 중간에 멈추는 두 가지 방식이 그대로 들어 있고 풀이에서도 보인다. 108은 선택지 (B)로 어미가 함께 있는 경우만 센 값이고, 96은 선택지 (A)로 어미가 떨어져 있는 경우만 센 값이다. 선택지 (C) 156은 Peter와 Pauline을 구별하지 않는 함정이다. 그러면 떨어져 있는 경우가 12·8=96이 아니라 C(4, 2)·2³=6·8=48이 되어 48+108=156이 나온다. 문제는 어미 둘의 이름을 모두 밝혔으므로 순서를 세는 12가 맞다. 204는 겹치지 않고 빠짐도 없는 두 경우의 합이고 아래의 독립적인 재계산과도 일치하므로 (D)가 확정이다.
💡핵심 정리

규칙이 막는 것은 언제나 어미가 있는 가게뿐이니, 어미부터 정하고 그것이 몇 개의 가게를 막는지 센 다음, 남은 가게에서 새끼마다 자유롭게 고르게 하면 된다.

  • 네 개의 금지를 하나의 규칙으로
  • 어미가 채운 가게 수로 나누기
  • 경우 1: 어미가 한 가게에
  • 경우 2: 어미가 두 가게에
  • 두 경우 더하기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.