AMC 10 · 2013 · #19
학년 7 geometry-2d power-of-a-pointisosceles-trianglepolygon-inequality convert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: power-of-a-point
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
한 꼭짓점을 중심으로 한 원이 마주 보는 변을 정수 두 조각으로 자른다. 그 변의 길이를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
11
(B)
28
(C)
33
(D)
61
(E)
72
풀이 과정
전략 변수 도입하기
변의 두 조각이 숨어 있으니 문자로 이름을 붙인다. B와 X를 지나는 원 덕분에 점의 거듭제곱(Power of a Point)을 이용해 변의 길이들을 하나의 깔끔한 곱으로 바꿀 수 있다. 그 곱은 고정된 수이므로 인수분해하여 BC가 될 수 있는 값을 나열하고, 삼각부등식으로 하나만 남기고 모두 지운다.
1STEP 1
원을 그리고 반지름을 표시하기
원의 반지름이 아는 변과 같다.
AX = AB = 86, AC = 97 ＞ 86 이므로 C 는 원 밖, 직선 CA 는 원과 C 로부터 거리 97-86=11 과 97+86=183 에서 만남
원 위의 모든 점은 중심에서 정확히 반지름만큼 떨어져 있으므로 B와 X는 둘 다 A에서 86만큼 떨어져 있다.
7.G.B.4Draw A Diagram2STEP 2
두 조각에 이름 붙이기
두 조각에 이름을 붙인다.
CX = x, BX = y, BC = x + y, CB ＞ CX
숨은 조각에 이름을 붙이면 도형의 단서가 방정식으로 바뀐다.
6.EE.B.6Introduce A Variable3STEP 3
C에서 점의 거듭제곱 이용하기
먼 꼭짓점의 방멱이 정해진 곱을 준다.
CX · CB = x(x+y) = 11 · 183 = 2013
원 밖의 한 점에서 그은 모든 할선은 원과 만나는 두 거리의 곱이 항상 같다.
바깥의 한 점에서 원을 지나는 어떤 직선이든 두 거리의 곱은 같다.
▸ 왜?
두 직선이 만드는 삼각형은 각이 서로 같으므로, 변이 하나의 일정한 비를 이룬다.
닮은 삼각형은 변이 비례각이 같은 삼각형은 닮음: 대응변은 일정한 비 k, 넓이는 k² 비다.
▸ 왜?
원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있으며, 그것이 두 직선을 하나의 수로 묶는다.
원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.
4STEP 4
2013을 인수분해해 후보 나열하기
인수분해하면 후보가 넷뿐이다.
2013 = 3 · 11 · 61, (x, x+y) ∈ {(1,2013), (3,671), (11,183), (33,61)}
곱이 2013으로 고정되어 있으니 BC는 그 인수 중 하나일 수밖에 없다.
4.OA.B.4Introduce A Variable5STEP 5
불가능한 길이 지우기
크기 조건이 61만 남긴다, 보기 (D).
11 ＜ BC ＜ 183 → BC = 61, CX = 33, BX = 28
삼각형의 한 변은 다른 두 변의 합에 결코 도달하거나 넘어설 수 없다.
7.G.A.2Eliminate Possibilities정답
61
BC = 61을 확인하자. 두 조각은 CX = 33, BX = 28로 합이 61이고 둘 다 정수이다. 곱 33 * 61 = 2013은 11 * 183과 일치하므로 점의 거듭제곱 방정식이 성립한다. 세 변 86, 97, 61은 삼각부등식을 만족하는데, 61 ＜ 86 + 97, 86 ＜ 61 + 97, 97 ＜ 61 + 86이기 때문이다. 모두 맞으므로 (D)가 확실하다.
💡핵심 정리
원 밖의 한 점에서는 어떤 직선으로 잘라도 두 거리의 곱이 같으니, 조각에 이름을 붙이고 곱 하나를 구한 뒤 인수분해하면 된다.
- 원을 그리고 반지름을 표시하기
- 두 조각에 이름 붙이기
- C에서 점의 거듭제곱 이용하기
- 2013을 인수분해해 후보 나열하기
- 불가능한 길이 지우기