AMC 10 · 2013 · #8

학년 8 algebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
polynomial-factoringzero-product-propertyfraction-arithmetic convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: polynomial-factoring
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
서로 다른 두 0이 아닌 수가 한 식에서 같은 값을 준다. 둘의 곱을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{4}$
(B)
$\frac{1}{2}$
(C)
1
(D)
2
(E)
4
풀이 과정
전략 다르게 정리하기

x만 따로 구하려 하면 우변이 여전히 미지수인 이차식이 나와서 막힌다. 식 전체를 다시 정리하는 쪽이 낫다. 주어진 등식 말고 쓸 수 있는 사실은 두 수가 서로 다르다는 것뿐이므로, 목표는 식을 고쳐 써서 x-y라는 덩어리가 인수로 드러나게 하는 것이다. 그 덩어리가 나타나는 순간 '서로 다르다'를 쓸 수 있게 되고 곱이 강제된다. 다만 이 논증은 xy가 무엇이어야 하는지만 보여 주므로, 구체적인 쌍을 하나 대입해 보고(도구 #6) 논증을 거꾸로 돌려서(도구 #11) 그런 쌍이 실제로 존재함을 확인한다. 구조가 전혀 다른 두 번째 경로는 공통값에 이름을 붙여(도구 #4) 이차방정식의 성질을 쓰는 방법이며, 이는 검토 단계에 실었다.

1STEP 1

분수 두 개를 없애기

분수를 없애면 다항식이 남는다.

x²y + 2y = xy² + 2x
2STEP 2

모두 한쪽으로 몰기

모두 한쪽으로 옮겨진다.

x²y - xy² + 2y - 2x = xy(x-y) - 2(x-y) = 0
3STEP 3

인수분해하고 '서로 다르다'를 쓰기

서로 다르다는 것이 한 인수를 지운다.

(x-y)(xy-2) = 0, x - y ≠ 0 → xy - 2 = 0
4STEP 4

그런 쌍이 존재하는지 확인하기

그런 쌍이 실제로 존재한다.

1+2/1 = 3 = 2+2/2, 1 · 2 = 2
5STEP 5

논증을 거꾸로 돌리기

곱은 2, 보기 (D).

y = 2/x → y + 2/y = 2/x + x = x + 2/x, xy = 2 → (D)
정답
2
서로 다른 두 번의 수치 확인이 같은 곱으로 모인다. 쌍 (1,2)는 3=3을 주고, 쌍 (4,1/2)는 4+1/2 = 9/2, 1/2+4 = 9/2를 주며 둘 다 곱이 2이다. 따라서 목록의 다른 값은 답이 될 수 없다. 구조적인 확인도 있다. 문제의 2를 0이 아닌 임의의 상수 k로 바꿔도 똑같은 묶기가 (x-y)(xy-k)=0을 주어 xy=k가 된다. 그러므로 답은 문제에 적힌 상수 그 자체여야 하고, 그것은 2로 (D)와 맞는다. 오답들은 흔한 실수에 대응한다. (E) 4는 2²으로 어딘가에서 제곱한 결과이고, (A) 1/4와 (B) 1/2는 분수를 뒤집어 xy 대신 1/xy를 답한 결과다. 수치 확인 한 번이면 모두 걸러진다.
💡핵심 정리

모두 한쪽으로 몰면 인수 x-y가 드러나고, 두 수가 서로 다르니 그것으로 나눌 수 있으며, 남는 식이 xy=2를 말해 준다.

  • 분수 두 개를 없애기
  • 모두 한쪽으로 몰기
  • 인수분해하고 '서로 다르다'를 쓰기
  • 그런 쌍이 존재하는지 확인하기
  • 논증을 거꾸로 돌리기

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