AMC 10 · 2013 · #11
학년 8 geometry-3dpattern답을 골라 클릭하세요.
두 비행 경로를 3차원 좌표축 위에 올리면 각 구간은 좌표 하나가 1만큼 변하는 것이 된다. 그런 다음 움직이는 두 점을 따라가는 대신, B에서 A로 향하는 간격 벡터 하나만 따라간다. 이렇게 바꾸는 이유는, 이 간격 벡터의 세 좌표가 결코 줄어들지 않음을 보일 수 있고, 그러면 거리가 꾸준히 커져서 10피트를 정확히 한 번만 지나기 때문이다. 그 뒤에는 그 순간이 몇 번째 피트 구간 안에 들어가는지만 찾고, 두 주기에서 그 구간의 방향을 읽으면 된다.
비행을 좌표축 위에 올리기
좌표가 각 방향을 벡터로 바꾼다.
각 구간이 '좌표 하나에 1 더하기'가 되면 두 비행 경로는 기하가 아니라 장부 정리가 된다.
6.NS.C.8Draw A Diagram두 반복 주기 읽어내기
두 주기 모두 깔끔한 닫힌 식이 있다.
각 벌의 앞날 전체가 짧은 주기의 반복이므로, 한 주기의 순이동만 외워 두면 된다.
4.OA.C.5Look For A Pattern두 벌 대신 간격을 따라가기
각각보다 간격을 따라가는 편이 쉽다.
A는 북동쪽 위로만, B는 남서쪽으로만 날기 때문에 두 벌이 서로의 효과를 상쇄할 수 없다.
한 벌은 공간의 한쪽 구석으로만 날고 다른 벌은 그 반대로만 날므로, 둘이 서로를 상쇄할 수 없다.
▸ 왜?
두 물체가 정해진 방향으로 움직일 때, 둘 사이의 간격은 그 움직임의 차만큼 달라진다.
▸ 왜?
각 벌의 앞날은 짧은 한 주기의 되풀이이므로, 한 주기의 순 이동이 그것을 영원히 설명한다.
거리가 결코 줄지 않음 보이기
거리는 결코 줄지 않는다.
간격이 넓어지기만 한다면 10피트 떨어진 상태는 한 번 지나가고 다시 돌아오지 않는다.
8.F.B.5Eliminate Possibilities정수 피트 지점에서 간격 재기
정수 지점을 확인하면 그 순간이 가둬진다.
거리를 제곱해 두면 계산이 정수로만 남아 제곱근 없이 비교할 수 있다.
8.G.B.8Draw A Diagram10피트 순간을 한 구간에 가두기
그것은 한 구간 안에 든다.
제곱하면 '벌써 10피트인가'라는 질문이 정수와 100의 깔끔한 비교로 바뀐다.
8.EE.A.2Eliminate Possibilities여덟 번째 피트의 방향 읽기
나머지가 두 방향을 모두 알려 준다, 보기 (A).
벌이 어느 구간에 있는지는 피트 번호를 주기 길이로 나눈 나머지만으로 정해진다.
4.OA.C.5Look For A Pattern벌 자체가 아니라 두 벌 사이의 간격을 지켜보자. 날아가는 1피트마다 간격은 넓어지기만 하고 좁아지지 않으므로 10피트가 되는 순간은 딱 한 번이고, 그것이 몇 번째 피트인지만 찾으면 된다.
- 비행을 좌표축 위에 올리기
- 두 반복 주기 읽어내기
- 두 벌 대신 간격을 따라가기
- 거리가 결코 줄지 않음 보이기
- 정수 피트 지점에서 간격 재기
- 10피트 순간을 한 구간에 가두기
- 여덟 번째 피트의 방향 읽기