AMC 10 · 2013 · #13

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

sequences-arithmeticangle-sum-polygonangle-sum-trianglesimilar-trianglesoptimization convert-to-algebrasystematic-enumerationextremal-construction ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticangle-sum-triangle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

대각선이 사각형을 닮은 삼각형으로 나누고 모든 각이 일정하게 커진다. 가장 큰 두 각의 합의 최댓값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

210

(B)

220

(C)

230

(D)

240

(E)

250

풀이 과정

전략 변수 도입하기

이 문제에는 수치가 하나도 없습니다. 겹쳐 있는 세 구조 조건(네 항의 등차수열, 고정된 닮음, 세 항의 등차수열)과 최댓값 하나가 전부이므로, 첫 수는 이름을 잘 붙이는 것입니다. 두 번의 이름 붙이기가 풀이 전체를 지탱합니다. 첫째, 닮음 덕분에 그림 속 모든 각이 세 값 α, β, γ로 줄어듭니다. 둘째, 사각형의 등차수열을 첫째 항이 아니라 중심을 기준으로 씁니다. 즉 네 항을 m-3e, m-e, m+e, m+3e로 둡니다. 이 두 번째 선택이 결정적입니다. 합 조건이 분수 없이 곧바로 m = 90을 주고, 구하려는 값이 간격 e의 단순한 배수가 되어, 문제가 "간격을 얼마나 넓힐 수 있는가"로 바뀌기 때문입니다. 두 이름이 자리를 잡으면 조건들은 짧고 닫힌 경우 목록으로 줄어드므로 빠짐없이 나열해서 마무리할 수 있습니다. 그리고 최댓값을 주장하는 문제이므로, 이긴 경우는 식으로 푸는 데서 멈추지 않고 실제로 그려 보아야 합니다.

1STEP 1

그림을 세 각으로 줄이기

닮음이 그림을 세 각으로 줄인다.

α = ∠ ADB = ∠ CBD, β = ∠ DBA = ∠ DCB, γ = ∠ BAD = ∠ CDB

2STEP 2

등차수열을 90에 맞춰 놓기

사각형의 등차는 90을 중심으로 한다.

90-3e, 90-e, 90+e, 90+3e (0 ≤ e ＜ 30), 구하는 값 = (90+e)+(90+3e) = 180+4e

3STEP 3

나뉜 그림에서 네 각 읽기

나뉜 그림이 각 꼭짓점을 곧장 이름 짓는다.

∠ A = γ, ∠ B = α + β, ∠ C = β, ∠ D = α + γ

4STEP 4

두 짝, 하나의 같은 간격

두 짝이 같은 간격을 공유한다.

{β, β+α}, {γ, γ+α} ⟹ α ∈ {2e, 4e}

5STEP 5

삼각형 조건은 곧 60

삼각형 조건이 60을 강제한다.

α + β + γ = 180°, (p-k) + p + (p+k) = 3p = 180° ⟹ p = 60°

6STEP 6

여섯 개의 식, 살아남는 둘

살아남는 간격은 둘뿐이다.

α = 2e: {2e, 90-3e, 90+e}; α = 4e: {4e, 90-3e, 90-e}; e ∈ {10, 15}, 180 + 4e ≤ 240

7STEP 7

이긴 경우를 가정하지 말고 그려 보기

이긴 경우를 그리면 240, 보기 (D).

∠ A = 75°, ∠ B = 105°, ∠ C = 45°, ∠ D = 135°; 135 + 105 = 240

정답

240

180 + 4e라는 식 덕분에 모든 선택지를 직접 시험할 수 있고, 이것이 하나의 작도를 확인하는 것보다 더 날카로운 점검입니다. 210이 되려면 e = 7.5인데, α = 2e = 15이면 세 각이 {15, 67.5, 97.5}이고 α = 4e = 30이면 {30, 67.5, 82.5}라서 어느 쪽에도 60이 없으므로 불가능합니다. 230이 되려면 e = 12.5인데 세 각은 {25, 52.5, 102.5} 또는 {50, 52.5, 77.5}로 역시 60이 없어 불가능합니다. 250이 되려면 e = 17.5인데 세 각은 {35, 37.5, 107.5} 또는 {70, 37.5, 72.5}로 60이 없어 불가능합니다. 실제로 가능한 값은 220(e = 10, 네 각 60, 80, 100, 120, 삼각형의 각은 {20, 60, 100} 또는 {40, 60, 80})과 240(e = 15)뿐이고, 그중 큰 값이 240입니다. 이긴 도형도 독립적인 확인을 모두 통과합니다. 45 + 75 + 105 + 135 = 360이고, 네 각이 모두 0°와 180° 사이에 있어 볼록하며, 각 삼각형은 45 + 60 + 75 = 180입니다.

💡핵심 정리

대각선은 네 꼭짓점 중 두 곳에 똑같은 각을 더해 주므로, 네 내각은 간격이 같은 두 짝으로 나뉘어야 합니다. 이 구조 하나가 등차수열 전체를 결정합니다.

그림을 세 각으로 줄이기
등차수열을 90에 맞춰 놓기
나뉜 그림에서 네 각 읽기
두 짝, 하나의 같은 간격
삼각형 조건은 곧 60
여섯 개의 식, 살아남는 둘
이긴 경우를 가정하지 말고 그려 보기