AMC 10 · 2013 · #17

학년 9 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

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📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 실수의 합과 제곱의 합을 안다. 그중 하나가 움직이는 폭을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\frac{10}{3}$

(C)

(D)

$\frac{16}{3}$

(E)

$\frac{20}{3}$

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

미지수 세 개에 식이 두 개뿐이라 해가 곡면 전체를 이루므로, a, b, c를 한꺼번에 쫓아가면 길이 막힌다. 대신 정리 방식을 바꾼다. c를 미리 정해진 하나의 수로 보고, 남은 부분에 대해 예/아니오 질문을 던지는 것이다. c를 고정하면 쌍 (a,b)는 정해진 합과 정해진 제곱합을 가져야 하고, 문제는 '그런 실수 쌍이 존재하는가'로 바뀐다. 이 재구성이 중요한 이유는 함정 때문이다. 흔히 쓰는 부등식 경로(코시-슈바르츠나 평균 부등식)는 한 방향만 증명한다. 즉 가능한 c라면 어떤 이차부등식을 만족해야 한다는 것뿐이다. 그것은 c가 벗어날 수 없는 구간을 줄 뿐, c가 실제로 채우는 구간과 같지 않다. 그런데 문제는 진짜 최댓값과 최솟값을 묻는다. 그래서 계획은 한쪽 방향의 한계가 아니라 동치인 판정식을 찾는 것이다. 항등식 2(a²+b²)-(a+b)²=(a-b)²가 바로 그것을 준다. 등호가 성립하는 경우가 각 끝점을 실현하는 쌍 (a,b)를 그대로 넘겨주기 때문이다. 그다음은 c만의 이차부등식이 마무리하고, 구체적인 두 조합이 양 끝이 실제로 도달됨을 확인해 준다.

1STEP 1

c를 고정하고 쌍을 분리하기

하나를 고정하면 합을 아는 쌍이 남는다.

a+b = 2-c, a²+b² = 12-c²

2STEP 2

쌍이 존재할 정확한 판정식

그런 쌍에 대한 정확한 판정식이 있다.

2(a²+b²)-(a+b)²=(a-b)² ≥ 0; a,b=(s ± √(2q-s²))/2 → a+b=s, a²+b²=q

3STEP 3

판정식에 c를 넣기

그것을 넣으면 이차부등식 하나가 된다.

2(12-c²) ≥ (2-c)² ⇔ 24-2c² ≥ 4-4c+c² ⇔ 3c²-4c-20 ≤ 0

4STEP 4

인수분해해서 구간 읽기

인수분해하면 구간이 읽힌다.

(3c-10)(c+2) ≤ 0 ⇔ -2 ≤ c ≤ 10/3

5STEP 5

양 끝이 실제로 도달됨을 보이기

양 끝에 실제로 닿는다.

(a,b,c)=(2,2,-2) 와 (a,b,c)=(-2/3,-2/3,10/3) 는 모두 a+b+c=2, a²+b²+c²=12 를 만족한다

6STEP 6

두 극단을 빼기

폭은 16/3, 보기 (E).

c_max-c_min=10/3-(-2)=16/3

정답

16/3

서로 독립인 두 가지 확인이 크기와 엄격함을 뒷받침한다. 첫째, c² ≤ a²+b²+c² = 12이므로 |c| ≤ 2√(3) ≈ 3.464이고, 구한 최댓값 10/3 ≈ 3.333은 그 천장 바로 아래에 있다. 그리고 반드시 그 천장보다 진짜로 작아야 한다. c=2√(3)에 도달하려면 a²+b²=0, 즉 a=b=0이어야 하는데 그러면 a+b+c=2√(3) ≠ 2이기 때문이다. 그러므로 진짜 최댓값은 2√(3)보다 작아야 하고 계산 결과가 정확히 그렇다. c=± 2√(3)에 기대는 답은 모두 틀린 답이다. 둘째, 구간 안쪽 값을 하나 찍어 본다. c=2이면 a+b=0이고 a²+b²=8인데 (a,b)=(2,-2)가 이를 만족하므로 c=2는 가능하고, 구간 가운데가 비어 있지 않다. 답이 좌우 비대칭인 것도 납득할 만하다. 두 식은 c=0에 대해 대칭이 아니기 때문이다. 조건 a+b+c=2가 그림 전체를 한쪽으로 기울이고, 실제로 구간 [-2,10/3]의 중심은 0이 아니라 2/3이다. 이 논증이 무엇에 걸려 있었는지 짚어 두자. 한 방향짜리 부등식은 c가 [-2,10/3]를 벗어날 수 없다는 것까지만 보여 준다. 완전제곱 항등식이 그 판정식을 동치로 만들었고, 그 등호 조건이 조합 (2,2,-2)와 (-2/3,-2/3,10/3)를 내주어 끝점을 가정이 아닌 사실로 만들었다.

💡핵심 정리

합과 제곱합이 정해진 두 실수는 제곱합의 두 배가 합의 제곱 이상일 때만 존재하므로, 그 판정식 하나가 어떤 c가 가능한지와 양 끝에서 어떤 조합이 나오는지를 모두 결정한다.

c를 고정하고 쌍을 분리하기
쌍이 존재할 정확한 판정식
판정식에 c를 넣기
인수분해해서 구간 읽기
양 끝이 실제로 도달됨을 보이기
두 극단을 빼기