AMC 10 · 2013 · #20
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
복잡한 삼각비 네 점은 서로 무관한 네 개의 대상처럼 보인다. 도구 #15(다르게 정리하기): 모든 꼭짓점이 (t,t²) 꼴이므로 네 점은 전부 하나의 포물선 y=t² 위에 있다. 이 한 번의 재해석이 문제의 전부다. 포물선 위에서 매개변수 a와 b를 잇는 현의 기울기는 a+b이므로 '평행'은 '합이 같다'로 바뀐다. 도구 #1(그림 그리기): 네 매개변수를 수직선 위에 찍어 위치 관계를 본다. 도구 #14(극단의 원리): 가장 작은 값과 가장 큰 값이 어떤 짝짓기가 균형을 이룰 수 있는지를 결정한다. 도구 #3(가능성 지우기): 네 점을 두 현으로 나누는 세 가지 방법 중 하나만 살아남는다. 도구 #4(변수 도입하기): p=sin xcos x, s=sin x+cos x로 놓으면 피타고라스 항등식이 둘을 묶어 이차방정식을 만든다.
네 꼭짓점은 모두 한 포물선 위에 있다
네 점이 모두 한 포물선 위에 있다.
합차공식이 포물선 현의 기울기를 두 매개변수의 합으로 바꿔 주므로, '평행'이 단순한 덧셈 문제가 된다.
이 곡선에서 현의 기울기는 두 매개변수의 합일 뿐이므로, 평행이라는 말이 평범한 산수가 된다.
▸ 왜?
두 제곱의 차는 두 값의 합에 그 차를 곱한 것이며, 그 차가 약분된다.
▸ 왜?
평행한 직선은 기울기가 같은 직선이므로, 합이 같다는 것이 조건 전부다.
네 수를 수직선 위에 배치하기
각의 범위가 네 수의 순서를 정한다.
135°를 지나면 코사인의 크기가 사인보다 커지고, 그 때문에 cot x는 -1 아래로 떨어지고 tan x는 -1과 0 사이에 갇힌다.
11.F-TF.A.2Draw A Diagram극단끼리만 짝지을 수 있다
극단끼리만 짝지을 수 있다.
작은 값끼리 묶으면 반대쪽 쌍은 양쪽 자리 모두 더 크므로 합이 같아질 수 없다. 최소와 최대를 함께 묶어야만 저울이 균형을 이룬다.
6.NS.C.7Extreme Principle공통인수로 식을 무너뜨리기
공통 인수가 방정식을 무너뜨린다.
양변에 같은 인수 sin x-cos x가 있고 이 구간에서 그것이 0이 아니므로, 나누는 것은 정보를 잃지 않는 정확한 조작이다.
9.A-SSE.A.2Introduce A Variable항등식으로 곱과 합을 묶기
피타고라스 항등식이 곱과 합을 묶는다.
sin x와 cos x의 합과 곱은 결코 독립적이지 않다. 피타고라스 항등식이 둘을 s²=1+2p로 묶어 놓는다.
11.F-TF.C.8Introduce A Variable풀고 불가능한 근 버리기
크기 조건이 불가능한 근을 지운다.
사인과 코사인의 곱은 크기가 1/2를 넘을 수 없으므로, 두 대수적 근 중 하나는 애초에 실제 각이 아니었다.
9.A-REI.B.4Eliminate Possibilities곱을 배각으로 바꾸기
그 곱은 사실 배각이다.
sin(2x)는 이미 구한 곱의 두 배일 뿐이므로, 이차방정식이 원래 질문에 곧바로 답한다.
11.F-TF.C.9Introduce A Variable사다리꼴이 실제로 존재함을 보이기
그런 각이 실제로 존재하므로 보기 (A)가 답이다.
값을 강제하는 것과 도형을 실제로 만드는 것은 다르므로, 각을 직접 찾아 네 점이 정말 사다리꼴로 닫히는지 확인한다.
10.G-GPE.B.4Draw A Diagram모든 꼭짓점이 (t,t²) 꼴이라 네 점은 하나의 포물선 위에 있다. 포물선에서 매개변수 a와 b를 잇는 현의 기울기는 a+b이므로 '평행'은 곧 '합이 같다'는 뜻이다. 135°를 지나면 cot x가 네 수 중 가장 작고 sin x가 가장 크므로, 두 합이 같아지는 유일한 방법은 최소와 최대를 묶는 sin x+cot x=cos x+tan x뿐이다. 이 식은 sin xcos x=sin x+cos x로 무너지고, 피타고라스 항등식이 마무리한다. sin(2x)=2-2√(2), 선택지 (A).
- 네 꼭짓점은 모두 한 포물선 위에 있다
- 네 수를 수직선 위에 배치하기
- 극단끼리만 짝지을 수 있다
- 공통인수로 식을 무너뜨리기
- 항등식으로 곱과 합을 묶기
- 풀고 불가능한 근 버리기
- 곱을 배각으로 바꾸기
- 사다리꼴이 실제로 존재함을 보이기