AMC 10 · 2013 · #21

상한은 2C(30, 2) = 870, 즉 선택지 (E) 예요 — 모든 쌍이 두 번 만난다고 가정했을 때의 값이고, 810은 그 바로 아래에 60 = 2 · 30 만큼 모자라게 놓여요. 작고 확인 가능한 차이예요. a = 0으로 두 경우를 손으로 검산해요. 준선 y = 1은 y = (1-x²)/2을, 준선 y = 2는 y = 1 - x²/4을 주는데, 둘을 같다고 놓으면 x² = -2 라서 실수 해가 없어요 — 포개진 경우와 일치해요. 준선 y = -1은 y = (x²-1)/2을 주고, (1-x²)/2 = (x²-1)/2 에서 x = ± 1, y = 0 — 두 준선이 평행한데도 정확히 두 점에서 만나요. 이 한 예가 분류 기준이 준선의 평행 여부가 아니라 열리는 방향이어야 하는 이유를 보여줘요. 오답들은 정확히 그럴듯한 실수 자리에 놓여 있어요. (A) 720 = 2(435-75)는 준선이 평행한 5C(6, 2) = 75 개 쌍을 모두 버려서, 반대편에 있는 쌍이 만난다는 걸 놓친 값이에요. (D) 840 = 2(435-15)는 포개진 쌍 중 b ＞ 0 인 절반만 센 값이에요. (E) 870은 포개진 쌍을 아예 잊은 값이에요. 솔직한 단서 하나: '세 개가 한 점에서 만나지 않는다' 는 조건은 결정적인 역할을 하는데 증명된 것이 아니라 문제가 그냥 준 가정이에요. 실제로 확인해 보면 이 배치에서는 문자 그대로 참이 아니에요 — 예를 들어 (1/2,1/2)은 초점까지의 거리도 1/√(2)이고 세 준선 y = x+1, y = x-1, y = -x+2 까지의 거리도 모두 1/√(2)이라, 세 포물선이 이 점을 지나요. 문제가 지시한 대로 좋은 쌍마다 새로운 점 하나씩 세면 810 이에요.