AMC 10 · 2013 · #24
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
그림이 길이보다 각을 훨씬 많이 준다. 그러니 각부터 쫓는다. 정삼각형의 두 60° 각은 직선들이 교차하는 자리에 놓여 있어서 보각을 타고 사방으로 퍼진다. 그다음이 핵심이다. C에서의 이등분선은 각 C의 두 변을 서로 맞바꿀 수 있게 만들므로, 이등분선 한쪽에서 찾은 각은 반대쪽의 같은 각과 짝을 이룬다. 그 결과 서로 다른 두 쌍의 닮은 삼각형이 나오고, 두 쌍 모두 똑같은 비 CX/CN을 재고 있다. 하나의 양을 두 가지 방식으로 쓰고 그 두 식을 같다고 놓는 것이 BC를 확정짓는다. 그 뒤에는 코사인법칙 한 번으로 끝난다.
두 개의 60도 각을 퍼뜨리기
정삼각형 꼭짓점이 아는 각을 퍼뜨린다.
두 직선이 X에서 만나므로 거기의 60도 각 하나가 네 각을 모두 결정하고, 직선 AB에서도 같은 수법이 N의 각들을 결정한다.
10.G-CO.C.10Draw A Diagram이등분선을 사이에 두고 60도 각끼리 짝짓기
한 짝이 닮은 삼각형 한 쌍을 준다.
이등분선이 각 C의 두 변을 맞바꿀 수 있게 만들어서, 한쪽 변의 60도 각이 반대쪽의 60도 각과 그대로 겹쳐진다.
10.G-SRT.B.5Identify Subproblems120도 각끼리도 같은 방식으로 짝짓기
다른 짝이 또 한 쌍을 준다.
보각끼리도 이등분선 아래에서 60도 각과 똑같이 짝을 이루고, 이 짝짓기는 멀리 있는 꼭짓점 A와 B까지 닿는다.
10.G-SRT.B.5Identify Subproblems같은 비를 두 가지 방법으로 재기
같은 비를 두 번 재면 변이 정해진다.
한 양에 이름이 두 개 붙어 있으면, 그 두 이름을 같다고 놓는 것만으로 정보가 공짜로 생긴다.
8.EE.A.2Organize Information In More Ways비를 길이로 바꾸기
그 비가 길이로 바뀐다.
비는 모양만 알려 줄 뿐이고, 정삼각형의 한 변이 그것을 실제 길이로 바꿔 주는 자 역할을 한다.
8.EE.C.7Work Backwards코사인법칙으로 삼각형 BXC 닫기
코사인법칙이 그것을 닫는다, 보기 (E).
두 변과 낀각이 나머지 한 변을 결정하는데, 그 나머지 한 변은 이미 루트 2로 못 박혀 있었다.
두 변과 그 사이 각이 나머지 한 변을 정하며, 그 변은 이미 정해져 있었다.
▸ 왜?
두 변의 길이와 낀 각을 알면, 남은 변은 그 셋만으로 정해진다.
▸ 왜?
그 낀 각은 이등분선과 교차가 잘라 낸 조각을 더해 만들어진다.
각의 이등분선은 각의 두 변을 서로 맞바꿀 수 있게 만들어서, 짝이 맞는 각 하나마다 닮은 삼각형 한 쌍이 생긴다. 서로 다른 두 쌍으로 같은 비를 재고 두 결과를 같다고 놓으면, 삼각형은 더 이상 숨을 곳이 없다.
- 두 개의 60도 각을 퍼뜨리기
- 이등분선을 사이에 두고 60도 각끼리 짝짓기
- 120도 각끼리도 같은 방식으로 짝짓기
- 같은 비를 두 가지 방법으로 재기
- 비를 길이로 바꾸기
- 코사인법칙으로 삼각형 BXC 닫기
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