AMC 10 · 2014 · #1
학년 8 arithmetic fraction-arithmeticexponentsorder-of-operations identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticexponents
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
세 분수를 더하고 결과를 뒤집은 뒤 배로 늘린다. 그 값을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
3
(B)
8
(C)
$\frac{25}{2}$
(D)
$\frac{170}{3}$
(E)
170
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
이 식은 세 가지 연산이 겹쳐 있으므로, 깔끔한 방법은 작은 문제로 쪼개는 것입니다(도구 #7): 먼저 분수를 더하고, 그다음 지수 -1을 처리하고, 마지막에 10을 곱합니다. 여기서 유일한 함정은 -1 인데, 도구 #16(관점 바꾸기)으로 "-1 제곱하기"를 "분수를 뒤집기"라는 더 쉬운 생각으로 바꿔 줍니다. 객관식이므로 도구 #3으로 최종 값이 선택지에 정확히 떨어지는지 확인할 수 있습니다.
1STEP 1
세 분수 더하기
세 분수의 합은 4/5다.
1/2+1/5+1/10=5/10+2/10+1/10=8/10=4/5
통분은 크기가 다른 세 조각을 같은 종류의 조각으로 바꿔, 그냥 개수를 세어 더할 수 있게 해 줍니다.
5.NF.A.1Identify Subproblems2STEP 2
-1 지수로 뒤집기
지수가 그 분수를 뒤집는다.
(4/5)⁻¹=5/4
-1 제곱은 그냥 "뒤집기"를 뜻해서 분자와 분모가 자리를 맞바꿉니다.
마이너스 1 제곱은 뒤집으라는 뜻일 뿐이다. 분자와 분모가 자리를 바꾼다.
▸ 왜?
어떤 수에 그 역수를 곱하면 1이 되므로, 역수가 바로 그것을 되돌린다.
역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
▸ 왜?
먼저 공통 분모로 분수의 이름을 바꿔도 값은 그대로이므로, 뒤집기는 하나의 수에 작용한다.
동치분수분수의 분자와 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 값은 변하지 않는다.
3STEP 3
10 곱하기
곱하면 25/2, 보기 (C).
10·5/4=(10 · 5)/4=50/4=25/2 → (C)
5/4이 열 개면 50/4이고, 분자·분모를 2로 약분하면 25/2입니다.
4.NF.B.4Identify Subproblems정답
25/2
소수로 확인해 봅니다: 1/2+1/5+1/10=0.5+0.2+0.1=0.8, 그 역수는 1/0.8=1.25, 그리고 10×1.25=12.5=25/2. 선택지 (C)와 일치합니다. 함정 답들은 -1을 잘못 다룰 때 나옵니다: 뒤집기를 잊으면 10·4/5=8 (선택지 B)이 되고, -1을 역수가 아니라 곱셈처럼 다루면 깔끔한 값 근처에도 못 갑니다 — 따라서 (C)가 옳습니다.
💡핵심 정리
-1 제곱은 그저 "분수 뒤집기"이고, 나머지는 더하고 곱하기예요.
- 세 분수 더하기
- -1 지수로 뒤집기
- 10 곱하기