AMC 10 · 2014 · #12
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
문제에는 크기가 하나도 없다. 그래서 도구 #4(변수 도입하기)로 두 원이 반드시 공유하는 길이, 즉 공통현 c=AB를 세운다. 나머지 값은 모두 c로 쓰고, c는 마지막에 약분된다. 도구 #1(그림 그리기)로 두 중심, 두 반지름, 현을 눈에 보이게 하면 두 중심이 모두 AB의 수직이등분선 위에 있다는 사실이 드러난다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 원마다 똑같은 작은 문제 하나로 나눈다. 현과 중심각이 주어졌을 때 반지름 구하기다. 도구 #3(가능성 지우기)은 이 문제의 핵심을 결정한다. 문제는 큰 원 대 작은 원을 묻는데 호를 나눠 주는 방법이 두 가지이므로, 하나는 짐작이 아니라 증명으로 지워야 한다.
공유하는 단 하나의 길이 찾기
현이 유일하게 공유하는 길이다.
두 원은 오직 현 AB를 통해서만 연결되므로, 모든 비교는 그 현이라는 다리를 건너야 한다.
10.G-CO.A.1Draw A Diagram삼각형을 반으로 접기
각 삼각형을 접으면 각이 절반이 된다.
반지름 두 개와 현 하나는 언제나 이등변삼각형을 만들고, 대칭축을 따라 접으면 삼각비를 쓸 수 있는 직각삼각형이 된다.
두 반지름과 현은 언제나 이등변삼각형을 이루므로, 그 대칭축을 따라 접으면 직각삼각형이 된다.
▸ 왜?
원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있으므로, 중심에서 나온 두 변은 같다.
▸ 왜?
변이 같으면 삼각형이 자기 자신의 거울상이 되므로, 접는 선이 현의 한가운데를 직각으로 자른다.
현으로 각 반지름 쓰기
각 반지름이 현과 사인에서 따라 나온다.
현 하나와 중심이 그것을 바라보는 각이 정해지면 반지름은 완전히 결정되므로, 호의 크기는 사실 반지름을 지목하고 있다.
10.G-SRT.C.8Introduce A Variable틀린 배정 지우기
작은 각이 더 큰 원의 것이다.
길이가 정해진 막대를 들고 뒤로 물러날수록 막대가 차지하는 각은 좁아진다. 그러니 좁은 30° 시야가 더 큰 원의 것이다.
10.G-SRT.C.6Eliminate Possibilities넓이 비를 반지름 비로 바꾸기
넓이의 비는 반지름 비의 제곱이다.
중요한 것은 그림의 모양뿐이므로, 길이 단위는 마지막 식에서 반드시 사라져야 한다.
7.G.B.4Introduce A Variablesin 15의 정확한 값 구하기
덧셈 공식이 정확한 값을 준다.
낯선 각도 이미 아는 두 각의 차이로 쓰는 순간 익숙한 각이 된다.
11.F-TF.C.9Identify Subproblems깔끔한 수로 정리하기
정리하면 2+√3, 보기 (D).
켤레를 곱하면 버티던 분모의 근호가 평범한 정수로 바뀌어, 제곱이 한 줄에 읽힌다.
9.A-SSE.A.2Introduce A Variable두 원은 현 하나를 공유하므로 각 반지름은 중심이 그 현을 바라보는 각으로 정해진다. 60°로 더 넓게 보는 쪽이 작은 원이고, 두 시야를 비교해 제곱하면 2+√3이 된다.
- 공유하는 단 하나의 길이 찾기
- 삼각형을 반으로 접기
- 현으로 각 반지름 쓰기
- 틀린 배정 지우기
- 넓이 비를 반지름 비로 바꾸기
- sin 15의 정확한 값 구하기
- 깔끔한 수로 정리하기