AMC 10 · 2014 · #13
학년 7 counting답을 골라 클릭하세요.
제한을 없애면 배정은 5⁵ = 3125가지라 하나씩 나열하기엔 너무 많다. 그래서 구조가 필요하다. 규칙을 지키는 배정에는 저마다 모양이 있다. 2명이 든 방이 몇 개인지, 1명이 든 방이 몇 개인지, 빈 방이 몇 개인지가 그 모양이다. 모양별로 나누면 개수 세기가 겹치지 않는 작은 문제들로 갈라진다. 배정 하나의 모양은 하나뿐이기 때문이다. 경우를 나눌 때 가장 위험한 것은 빠뜨린 경우이므로, 세기 전에 2명이 든 방의 개수를 변수로 놓고 작은 방정식을 풀어 모양 목록이 빠짐없음을, 그리고 각 모양이 방 5개 안에 실제로 들어감을 먼저 증명한다. 각 모양 안에서는 어떤 방이 어떤 역할을 맡는가와 어떤 친구가 어디로 가는가라는 서로 다른 두 종류의 선택을 갈라서 곱한다. 마지막에는 3125에서 넘치는 배정을 빼는 방식으로 전체를 다시 세어 독립적으로 확인한다.
제한을 끄고 먼저 세기
제한이 없으면 개수가 3125다.
규칙 하나를 뺀 채로 같은 것을 세면 쉽고, 그 값이 진짜 답을 위에서 가둬 준다.
6.EE.A.1Solve An Easier Related Problem모양이 정확히 세 가지임을 증명하기
제한이 모양을 정확히 셋으로 남긴다.
2명 방의 개수에 이름을 붙이면 "경우를 다 찾았나?"가 작은 방정식 하나를 푸는 일로 바뀌어서 빠뜨릴 수가 없다.
6.EE.B.5Introduce A Variable모양 (1,1,1,1,1): 방마다 한 명
방마다 한 명이면 120이다.
방마다 한 명씩만 들어갈 수 있으면 친구를 한 명 넣을 때마다 뒤에 남은 사람들의 선택지가 정확히 하나씩 줄어든다.
7.SP.C.8Identify Subproblems모양 (2,1,1,1): 2명 방 하나, 빈 방 하나
두 명 방이 하나면 1200이다.
누가 들어갈지를 정하기 전에 각 방의 역할부터 정해 두면 두 종류의 선택이 서로 엉키지 않는다.
7.SP.C.8Identify Subproblems모양 (2,2,1): 2명 방 둘, 빈 방 둘
두 명 방이 둘이면 900이다.
색이 다른 두 방에 두 쌍을 넣는 것은 서로 다른 결과이므로 여기서는 중복으로 세어지는 것이 없다.
7.SP.C.8Identify Subproblems세 모양 더하기
더하면 2220, 보기 (B).
동시에 일어날 수 없고 빠뜨린 것도 없는 경우들은 그냥 더하면 된다.
함께 일어날 수 없고 빠뜨리는 것도 없는 경우는 그냥 더하면 된다.
▸ 왜?
각 배치는 정확히 한 가지 방 모양에 맞으므로, 두 번 세어지거나 빠지는 것이 없다.
▸ 왜?
한 모양 안에서는 방의 역할과 사람이 서로 상관없이 정해지므로, 그 개수가 먼저 곱해진다.
가능한 경우를 모양별로 묶고, 그 모양 목록에 빠진 것이 없음을 먼저 증명한 다음, 누가 어디로 가는지보다 각 방의 역할을 먼저 정해서 모양마다 세면 된다.
- 제한을 끄고 먼저 세기
- 모양이 정확히 세 가지임을 증명하기
- 모양 (1,1,1,1,1): 방마다 한 명
- 모양 (2,1,1,1): 2명 방 하나, 빈 방 하나
- 모양 (2,2,1): 2명 방 둘, 빈 방 둘
- 세 모양 더하기
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