AMC 10 · 2014 · #14
학년 9 algebranumber-theory답을 골라 클릭하세요.
문제에 나오는 두 낱말은 사실 정의를 숨긴 것이다. 그래서 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "등차"를 2b=a+c로, "등비"를 c²=ab로 바꾼다. 문자 셋에 식 둘이므로 자유도가 하나 남는다. 도구 #4(변수 도입하기)로 b 하나만 자유롭게 두고 a와 c를 b로 나타낸다. 도구 #3(가능성 지우기)은 인수분해로 갈라진 두 갈래 가운데 a ＜ b ＜ c와 충돌하는 쪽을 버린다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 세 수 전체를 한 문자로 다시 쓰면, 그때 비로소 a ＜ b ＜ c가 조건 하나로 줄어든다. 그다음에야 도구 #14(극단의 원리)로 최솟값을 고르는데, 최솟값은 경계만 보이는 것으로 끝나지 않고 실제로 도달됨을 보여야 한다.
두 낱말을 식으로 바꾸기
두 낱말이 단순한 식이 된다.
등차수열의 가운데 항은 양옆의 평균이고, 등비수열의 가운데 항은 제곱하면 양옆의 곱이 된다.
등차수열의 가운데 항은 이웃의 평균이고, 등비수열의 가운데 항은 제곱하면 이웃의 곱이 된다.
▸ 왜?
각 항은 앞 항에 같은 간격을 더한 것이므로, 가운데는 바깥 두 항의 한가운데에 놓인다.
▸ 왜?
각 항은 앞 항에 같은 배율을 곱한 것이므로, 이웃한 두 비가 일치해야 한다.
한 식으로 a 지우기
한 식이 변수 하나를 지운다.
미지수 셋에 식 둘이면 문자 하나는 자유로우니, 쉬운 일차식을 써서 a를 지워도 손해가 없다.
9.A-CED.A.2Introduce A Variable인수분해하고 한 갈래 버리기
인수분해하면 갈래가 둘이다.
인수분해는 어려운 식 하나를 쉬운 식 몇 개의 목록으로 바꾸고, 부등식 b ＜ c가 그 목록에서 한 줄을 공짜로 지워 준다.
9.A-REI.B.4Eliminate Possibilities삼조를 한 문자로 다시 쓰기
삼조 전체가 문자 하나에 달려 있다.
세 수가 모두 한 매개변수에 얹히면 조건을 확인하는 일이 그 매개변수에 대한 식 하나를 확인하는 일이 된다.
9.A-CED.A.3Organize Information In More Ways순서 조건으로 b 묶기
순서 조건이 그 문자를 음수로 만든다.
두 부등식이 b에 대한 같은 문장으로 줄어들므로 순서 조건은 둘이 아니라 하나만큼만 값을 치른다.
9.A-REI.B.3Eliminate Possibilitiesc의 최솟값 고르기
가장 큰 수의 최솟값은 2, 보기 (C).
-2를 곱하면 대소가 뒤집히므로 가장 큰 b가 가장 작은 c를 만들고, 그 c는 실제 삼조가 받쳐 줄 때에만 답이 된다.
7.NS.A.2Extreme Principle등차와 등비라는 말을 각각 식으로 바꾸고 세 수를 문자 하나로 줄이면, 그 문자가 가질 수 있는 값은 순서 조건이 정확히 알려 준다.
- 두 낱말을 식으로 바꾸기
- 한 식으로 a 지우기
- 인수분해하고 한 갈래 버리기
- 삼조를 한 문자로 다시 쓰기
- 순서 조건으로 b 묶기
- c의 최솟값 고르기