AMC 10 · 2014 · #17

학년 8 geometry-3d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

tangent-circlesspatial-visualizationcoordinate-geometrypythagorean-theorem spatial-visualizationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremcoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

작은 구들이 상자의 모든 모서리에 박히고 큰 구 하나가 그 모두에 닿는다. 상자의 높이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2+2\sqrt 7$

(B)

$3+2\sqrt 5$

(C)

$4+2\sqrt 7$

(D)

$4\sqrt 5$

(E)

$4\sqrt 7$

풀이 과정

전략 공간 상상하기

그림은 배치 하나를 보여줄 뿐, 그림 자체가 증명은 아니다. 진짜 할 일은 아홉 개의 중심이 다른 곳에 있을 수 없음을 보이는 것이다(도구 #17, 도구 #14). 폭이 정확히 4인 상자 안에 있다는 조건이 큰 구의 중심을 상자의 중앙 수직선 위로 못박고, "세 면에 접한다"는 조건이 작은 구를 꼭짓점에 못박는다. 모든 중심이 고정되면 좌표를 도입해(도구 #4) "접한다"를 거리 방정식으로 바꾸고, 문제를 두 조각으로 쪼갠다(도구 #7). 아래쪽 구와의 접촉이 큰 구의 위치를 정하고, 위쪽 구와의 접촉이 그것을 h로 바꿔 준다.

1STEP 1

큰 구는 움직일 자리가 없다

큰 구는 자유도 없이 가운데에 놓인다.

2 ≤ x ≤ 4-2→ x=2; 2 ≤ y ≤ 4-2→ y=2; h ≥ 4

2STEP 2

작은 구는 꼭짓점에 박혀 있다

각 작은 구가 모서리에 박힌다.

서로 수직인 세 면 → 그 꼭짓점 기준으로 중심 =(1,1,1)

3STEP 3

모든 중심에 좌표를 붙인다

좌표가 모든 중심을 이름 짓는다.

아래: (1,1,1),(3,1,1),(1,3,1),(3,3,1); 위: (1,1,h-1),…; 큰 구: (2,2,z)

4STEP 4

접한다는 조건을 거리 방정식으로

접함이 하나의 거리 방정식이 된다.

(2-1)²+(2-1)²+(z-1)²=3² → 2+(z-1)²=9

5STEP 5

큰 구의 높이를 구한다

그것이 큰 구의 높이를 정한다.

(z-1)²=7 → z-1=±√7 → z=1+√7

6STEP 6

위쪽 구가 높이를 h로 바꿔 준다

위쪽 구가 그것을 2+2√7로 바꾼다.

2+(h-1-z)²=9 → h=2+2√7 또는 h=2; h ≥ 4→ h=2+2√7

7STEP 7

그 배치가 정말 존재하는지 확인

그 배치는 실제로 존재한다, 보기 (A).

여덟 개 모두에 대해 √(1²+1²+(√7)²)=√9=3, h=2+2√7→(A)

정답

2+2√7

수치로 보면 h=2+2√7≈ 7.29로, 반지름 2인 구가 요구하는 h ≥ 4를 넉넉히 넘고, 작은 구 두 층 사이도 2√7≈ 5.29만큼 떨어져 있어 눌리는 곳이 없다. 답의 모양도 맞다. 높이는 아래쪽 작은 반지름 하나, 위쪽 반지름 하나, 그리고 길이가 같은 세로 변 두 개로 이루어지므로 반드시 2+2·(무언가) 꼴이어야 한다. 이것만으로 4√5와 4√7은 즉시 탈락하고, 3+2√5는 양 끝 간격이 반지름 1이 아니라 3/2씩이어야 하므로 맞지 않는다. 접촉 조건을 직접 다시 확인하면 √(2+(3.6458-1)²)=√(2+7)=3으로 정확히 2+1이다.

💡핵심 정리

모든 중심에 좌표를 붙이면 "두 구가 접한다"는 말은 그저 "중심 사이 거리가 반지름의 합과 같다"가 된다.

큰 구는 움직일 자리가 없다
작은 구는 꼭짓점에 박혀 있다
모든 중심에 좌표를 붙인다
접한다는 조건을 거리 방정식으로
큰 구의 높이를 구한다
위쪽 구가 높이를 h로 바꿔 준다
그 배치가 정말 존재하는지 확인