AMC 10 · 2014 · #8
학년 7 algebra percentagelinear-equations-one-var convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: percentage
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
세 할인 중 하나가 나머지 둘을 이겨야 한다. 그렇게 되는 가격을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\textdollar179.95$
(B)
$\textdollar199.95$
(C)
$\textdollar219.95$
(D)
$\textdollar239.95$
(E)
$\textdollar259.95$
풀이 과정
전략 변수 도입하기
정가를 P로 두자(도구 #4). 변수를 하나 잡으면 다섯 개의 정가를 일일이 세 번씩 계산하는 대신 세 할인액을 식으로 쓸 수 있다. 그다음 도구 #13으로 "쿠폰 1의 할인이 더 크다"라는 말을 두 부등식 — 쿠폰 1 대 쿠폰 2, 쿠폰 1 대 쿠폰 3 — 으로 바꾸면 P가 하나의 구간으로 좁혀진다. 마지막으로 도구 #3으로 다섯 정가 중 어느 것이 그 구간 안에 들어오는지 확인한다. 답은 반드시 선택지 값이어야 하기 때문이다.
1STEP 1
세 할인액을 식으로 쓰기
각 할인은 짧은 식 하나다.
C₁ = 0.10P, C₂ = 20, C₃ = 0.18(P-100)
정가를 P 하나로 이름 붙이면 모든 쿠폰이 같은 언어로 말하게 되어 곧바로 비교할 수 있다.
7.RP.A.3Introduce A Variable2STEP 2
쿠폰 1이 쿠폰 2를 이겨야 함
첫 비교가 하한을 준다.
0.10P ＞ 20 → P ＞ 200
고정된 20원은 정가가 200원을 넘어서야 비로소 10%에게 진다.
정액 할인은 값이 어떤 지점을 넘어선 뒤에야 정률 할인에 진다.
▸ 왜?
퍼센트는 값의 100분의 몇이므로 값이 커지면 함께 커지지만, 정액은 그대로다.
퍼센트는 100분의 목p%는 100 중 p를 뜻하므로, 어떤 양의 p%는 그 양의 (p/100)배이다.
▸ 왜?
한쪽은 자라고 다른 쪽은 그대로이므로, 정확히 한 번 엇갈리고 그 순서는 다시 뒤집히지 않는다.
부등호의 추이성첫째가 둘째보다 크고 둘째가 셋째보다 크면 첫째는 셋째보다 크다.
3STEP 3
쿠폰 1이 쿠폰 3을 이겨야 함
둘째가 상한을 준다.
0.10P ＞ 0.18(P-100) → 18 ＞ 0.08P → P ＜ 225
정가가 오를수록 쿠폰 3이 쿠폰 1보다 빠르게 커지므로, 쿠폰 1은 정가가 225원 아래일 때만 이긴다.
7.EE.B.4Convert To Algebra4STEP 4
구간 안의 정가 찾기
그 구간에 드는 가격은 하나뿐이다, 보기 (C).
200 ＜ P ＜ 225 → P = 219.95원 (C)
두 부등식이 좁은 창 하나를 만들고, 그 안에 들어오는 정가는 단 하나뿐이다.
6.EE.B.5Eliminate Possibilities정답
219.95원
P = 219.95를 직접 대입해 보자. 쿠폰 1은 0.10 · 219.95 = 21.995원, 쿠폰 2는 20원, 쿠폰 3은 0.18 · 119.95 ≈ 21.59원를 깎는다. 쿠폰 1의 약 22.00원이 셋 중 가장 크므로 두 쿠폰을 모두 이긴다 — (C)와 일치한다. 탈락한 선택지 P = 239.95도 확인하면, 쿠폰 3이 0.18 · 139.95 ≈ 25.19원로 이미 쿠폰 1의 24.00원을 넘어서므로 구간이 예측한 대로 (D)는 실패한다.
💡핵심 정리
각 쿠폰의 할인액을 정가에 대한 식으로 쓴 뒤, 두 부등식이 정가를 200 ＜ P ＜ 225로 좁혀 준다 — 그 안에 맞는 값은 219.95원 하나뿐이다.
- 세 할인액을 식으로 쓰기
- 쿠폰 1이 쿠폰 2를 이겨야 함
- 쿠폰 1이 쿠폰 3을 이겨야 함
- 구간 안의 정가 찾기